Liczby podwójne

Liczby podwójne – wyrażenia postaci $a+bȷ,$ gdzie $a,b\in ℝ,$ $ȷ\notin ℝ$ oraz ${ȷ}^2=1.$

Konstrukcja

Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych, tj. $ℝ\times ℝ$ z następującymi dwoma działaniami:

$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),$

$(a,b)\otimes (c,d)=(ac+bd,ad+bc).$

Para $(1,0)$ jest elementem neutralnym mnożenia $\otimes$ oraz $(0,1{)}^2=(1,0).$

Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera. Dzielniki zera mają postać $(a,a)$ lub $(a,-a),$ bowiem dla dowolnych $x,y:$

$(x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0).$

Ponieważ $(1,0)$ i $(0,1)$ są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:

$(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bȷ$ gdzie $ȷ=(0,1).$

Dla liczby podwójnej niebędącej dzielnikiem zera, tj. $c+dȷ,c^2-d^2\ne 0$ istnieje odwrotność:

$(c+dȷ{)}^{-1}=\frac{1}{c+dȷ}=\frac{-c+dȷ}{-c^2+d^2}.$

Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia drugiego:

$a+bȷ\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right),$

w szczególności

$ȷ\leftrightarrow \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$

Przykłady

• $(12+7ȷ)+(36+43ȷ)=48+50ȷ$
• $(5+3ȷ)\cdot (6+4ȷ)=42+38ȷ$

Zobacz też

• liczby dualne
• liczby zespolone

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Double and dual numbers Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

Szablon:Główne rodzaje liczb Szablon:Algebry nad ciałami liczbowymi