Liczby p-adyczne całkowite

Liczby p-adyczne całkowite (gdzie $\mathbb{N}\ni p>1,$ np. 10-adyczne, 2-adyczne) są rozszerzeniem pojęcia liczb całkowitych i (gdy p jest liczbą pierwszą) szczególnym przypadkiem liczb p-adycznych. Liczba p-adyczna całkowita to nieskończony ciąg liczb całkowitych $a_i$ zwanych cyframi, zawartych w przedziale $[0,p-1],$ gdzie $i=0,1,\dots$

Skrótowo zapisuje się je jako: $...a_7{a}_6{a}_5{a}_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0.$

Działania

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie wśród liczb p-adycznych wykonuje się analogicznie jak odpowiednie działania pisemne dla liczb całkowitych w systemie liczbowym o podstawie $p,$ choć oczywiście cyfr jest tu nieskończenie wiele. Na przykład dla liczb 10-adycznych:

$\begin{array}{c}...129129129\\ \underset{\_}{+...545454545}\\ ...674583674\end{array}$

Liczby ujemne

Liczby ujemne można zdefiniować w następujący sposób: liczbą p-adyczną $-x$ nazywamy liczbę, która odjęta od x da zero (...0000).

Tym samym wśród liczb 10-adycznych:

• −1 = ...99999
• −2 = ...99998
• −10 = ...99990
• −15 = ...99985

itd.

Ogólnie liczbę przeciwną do liczby $...a_7{a}_6{a}_5{a}_4{a}_3{a}_2{a}_1{a}_0$ konstruujemy następująco:

1. Każdą cyfrę $a_i$ zastępujemy przez $p-1-a_i.$
2. Dodajemy do tak powstałej liczby p-adycznej 1.

Zachodzi tu analogia z używanym w informatyce kodem uzupełnień do dwóch (U2), który koduje skończone liczby całkowite ujemne za pomocą liczb naturalnych w analogiczny sposób, jak w liczbach 2-adycznych.

Moc zbioru liczb p-adycznych całkowitych

Zbiór liczb p-adycznych całkowitych ma moc continuum, więc podobnie jak w przypadku liczb rzeczywistych jedynie znikomo mały ich podzbiór jesteśmy w stanie zapisać w ten sposób (np. gdy występuje okres). W przypadku bardziej złożonych liczb p-adycznych musimy podawać wzór na elementy ciągu $a_i,$ co także nie wyczerpuje wszystkich możliwych liczb p-adycznych (taki wzór może nie dawać się zapisać w skończonej postaci).

Liczby p-adyczne całkowite tworzą pierścień przemienny nad pierścieniem liczb całkowitych. Elementem neutralnym dodawania jest $...0000,$ czyli liczba całkowita zero.

Przykłady

• $...000652$ (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą $652$)
• $...999348$ (można ją utożsamiać z liczbą całkowitą $-652$)

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczba
• liczby p-adyczne