Liczba nieosiągalna

Liczba nieosiągalna – regularna graniczna liczba kardynalna. Regularne silnie graniczne liczby kardynalne nazywane są liczbami silnie nieosiągalnymi. Liczby nieosiągalne są najprostszymi przykładami dużych liczb kardynalnych.

Istnieją pewne niekonsekwencje w terminologii dotyczącej liczb nieosiągalnych. Niektórzy autorzy używają nazwy liczby słabo nieosiągalne na oznaczenie granicznych liczb regularnych rezerwując nazwę liczba nieosiągalna dla silnie granicznych regularnych liczb kardynalnych.

Definicje

• Liczba porządkowa $\alpha$ jest początkową liczbą porządkową jeśli $\alpha$ nie jest równoliczna z żadną liczbą porządkową od niej mniejszą. Początkowe liczby porządkowe są też nazywane liczbami kardynalnymi.
• Dla liczby kardynalnej $\kappa$ określamy:

${\kappa }^{+}$ jest pierwszą liczbą kardynalną większą od $\kappa$ (jest to tzw. następnik $\kappa$),

$2^{\kappa }$ jest mocą rodziny wszystkich podzbiorów $\kappa .$

• Liczba kardynalna $\kappa$ jest regularną liczbą kardynalną jeśli dla każdej rodziny zbiorów $\{A_i:i\in I\}$ takich że $|A_i|<\kappa$ dla wszystkich $i\in I$ oraz $|I|<\kappa$ mamy, że $\left|\bigcup _{i\in I}{A}_i\right|<\kappa .$
• Liczba kardynalna $\kappa$ jest graniczną liczbą kardynalną jeśli $\kappa$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej $\mu <\kappa$ mamy ${\mu }^{+}<\kappa .$ Powiemy, że $\kappa$ jest silnie graniczną liczbą kardynalną, jeśli $\kappa$ jest nieskończona oraz dla każdej liczby kardynalnej $\mu <\kappa$ mamy $2^{\mu }<\kappa .$

Nieprzeliczalna liczba kardynalna $\kappa$ jest (słabo) nieosiągalna jeśli jest ona graniczna i regularna, a jest nazywana liczbą silnie nieosiągalną, jeśli jest ona silnie graniczna i regularna.

Własności i przykłady

• Definicja liczb nieosiągalnych jest sformułowana dla liczb nieprzeliczalnych tylko, aby wyeliminować trochę patologiczny przypadek pierwszej nieskończonej liczby kardynalnej ${\mathrm{\aleph }}_0,$ która jest regularna i silnie graniczna. Podobieństwo liczb nieosiągalnych do liczby ${\mathrm{\aleph }}_0$ jest czasami wyrażane w stwierdzeniu, że liczby nieosiągalne mają się do liczb mniejszych tak jak ${\mathrm{\aleph }}_0$ ma się do liczb skończonych.
• Jeśli $\kappa$ jest liczbą nieosiągalną, to ${\mathrm{\aleph }}_{\kappa }=\kappa .$
• Jeśli $\kappa$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to ${\beth }_{\kappa }=\kappa .$
• Jeśli GCH jest spełnione, to każda liczba (słabo) nieosiągalna jest silnie nieosiągalna.
• W ZFC, jeśli $\kappa$ jest liczbą silnie nieosiągalną, to V_κ jest modelem ZFC. Zakładając ZF, jeśli $\kappa$ jest liczbą (słabo) nieosiągalną, to L_κ jest modelem ZFC. Zatem „ZF+ istnieje liczba nieosiągalna” implikuje, że „ZFC jest niesprzeczne”. Na mocy drugiego twierdzenia Gödla o niezupełności nie można udowodnić w ZFC że istnieją liczby nieosiągalne.
• Jeśli istnieją liczby nieosiągalne i $\kappa$ jest pierwszą taką liczbą, to L_κ jest modelem dla „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne”. Zatem jeśli teoria ZFC jest niesprzeczna, to także teoria „ZFC + nie istnieją liczby nieosiągalne” jest niesprzeczna.