Liść Kartezjusza

Wykres liścia Kartezjusza (zielony) z asymptotą (niebieska) dla a=1

Liść Kartezjusza – płaska krzywa geometryczna trzeciego stopnia opisana równaniem:

$x^3+y^3=3axy,$

gdzie $a\ne 0$ – stały parametr krzywej.

Krzywą tę można również opisać równaniami parametrycznymi:

$x=\frac{3at}{1+t^3},$

$y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3},$

gdzie $t\ne 1,t\in R.$

Zakresom wartości parametru $t$ odpowiadają następujące fragmenty krzywej:

• dla $t<-1$ otrzymamy  prawe dolne „skrzydło” (wtedy $x>0,$ $y<0$),
• dla $-1<t<0$ otrzymamy lewe górne „skrzydło” (wtedy $x<0,$ $y>0$),
• dla $t>0$ otrzymamy pętlę na krzywej ($x>0,$ $y>0$).

Cechy liścia Kartezjusza:

• jest symetryczny względem prostej $y=x,$
• ma jedną asymptotę, którą jest prosta o równaniu $y=-x-a,$
• zmieniając wartość parametru $a$ na $-a$ otrzymamy liść Kartezjusza odbity symetrycznie względem prostej $y=-x,$
• pole obszaru otoczonego pętlą wynosi $\frac{3}{2}{a}^2.$

Liść Kartezjusza został zaproponowany przez Kartezjusza do sprawdzenia metod Pierre’a de Fermata służących do szukania ekstremów funkcjiSzablon:Fakt.

Zobacz też

• lista krzywych
• owal Kartezjusza
• trysektrysa Maclaurina

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld