Lemat Hensela

Lemat Hensela – twierdzenie w teorii liczb sformułowane przez Kurta Hensela mówiące o istnieniu rozwiązań równania wielomianowego modulo $p^n$, gdy znane są rozwiązania modulo $p$.

Twierdzenie

Niech $f(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech $p$ będzie liczbą pierwszą. Jeśli istnieje taka liczba całkowita $a_0$, że Szablon:Wzór to istnieje nieskończony ciąg $(a_0,a_1,a_2,\dots )$ liczb całkowitych spełniający dla każdego $n\ge 1$ warunki Szablon:WzórPonadto jeśli ciąg $(b_0,b_1,b_2,\dots )$ również spełnia te warunki i $a_0\equiv b_0(\mathrm{mod}p)$, to $a_n\equiv b_n(\mathrm{mod}{p}^{n+1})$ dla każdego $n\ge 0$.

Zastosowania

Reszty kwadratowe modulo $p^n$

Udowodnimy, że dla liczby pierwszej $p>2$ oraz $a$ niepodzielnego przez $p$ kongruencja $x^2\equiv a(\mathrm{mod}{p}^n)$ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest resztą kwadratową modulo $p$, czyli kongruencja $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$ ma rozwiązanie.

Oczywiście z $x^2\equiv a(\mathrm{mod}{p}^n)$ wynika natychmiast $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$. Aby wykazać wynikanie w drugą stronę, posłużymy się lematem Hensela. Przyjmijmy $f(x)=x^2-a$. Niech $x_0$ będzie rozwiązaniem kongruencji $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$. Z założenia $p\nmid a$ wnioskujemy, że $p\nmid x_0$. Wówczas $f(x_0)=x_0^2-a\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ oraz $f^{\prime }(x_0)=2x_0\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)$. Zatem spełnione są założenia lematu Hensela.

Na mocy lematu Hensela istnieje taki ciąg $(x_0,x_1,x_2,\dots )$, że $f(x_n)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^{n+1})$. W szczególności $x_{n-1}$ jest rozwiązaniem kongruencji $x^2\equiv a(\mathrm{mod}{p}^n)$. To kończy dowód.

Liczby $p$-adyczne

Odpowiednio sformułowany lemat Hensela jest użytecznym narzędziem do rozwiązywania równań w ciałach $p$-adycznych. Wówczas przedstawione wzory są analogiczne do metody Newtona przybliżonego rozwiązywania równań w liczbach rzeczywistych.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Hensel lemma Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-30].