Lemat Bootha

Lemat Bootha – zdanie teorii mnogości dotyczące nieskończonych rodzin podzbiorów zbiorów przeliczalnych o pewnych własnościach. Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów teorii mnogości, to znaczy na ich gruncie nie można go ani udowodnić, ani obalić. Jest ono oznaczane symbolami:

$\text{LB},\mathrm{P}(𝔠)$ lub $𝔭=𝔠.$

Zdarza się, że $\text{LB}$ albo jego zaprzeczenie jest użyteczne w dowodach, dlatego niekiedy jedno z tych zdań przyjmowane jest jako dodatkowy aksjomat. Nazwa zdania pochodzi od nazwiska matematyka Davida Bootha, który dowiódł, że aksjomat Martina pociąga $\text{LB}$.

$\text{LB}:$ Niech $𝒜$ będzie rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego $X$ mocy mniejszej niż continuum. Jeśli dla każdej skończonej podrodziny $ℬ\subseteq 𝒜$ zbiór $\bigcap ℬ$ jest nieskończony (innymi słowy: $𝒜$ generuje filtr nie zawierający zbiorów skończonych), to istnieje zbiór nieskończony $B\subseteq X$ (tzw. pseudoprzekrój rodziny $𝒜$) taki, że $B{\subseteq }^{*}A$ (tzn. $B\setminus A$ jest skończony) dla każdego zbioru $A\in 𝒜.$

Zobacz też

• diagram Cichonia
• hipoteza continuum