Kryterium Jury

Szablon:Dopracować Kryterium Jury, kryterium stabilności Jury – kryterium podobne do kryterium stabilności Hurwitza, z tą różnicą, że może być wykorzystywane do analizy stabilności liniowych stacjonarnych układów cyfrowych w dziedzinie Z.

Aby skorzystać z kryterium w celu ustalenia, czy układ cyfrowy jest stabilny, należy sprawdzić czy równanie charakterystyczne dziedziny Z spełnia określone wymagania. Jeśli funkcja nie spełnia jakiegoś wymogu, oznacza to niestabilność, natomiast spełnienie wszystkich wymagań oznacza stabilność. Kryterium stabilności Jury stanowi zarówno konieczny, jak i dostateczny warunek stabilności dla układów cyfrowych.

Niech $D(z)$ będzie wielomianem charakterystycznym układu (czyli wielomianem mianownika transmitancji w dziedzinie Z). Kryterium Jury opiera się wyłącznie na wielomianie charakterystycznym. Aby sprawdzić kryterium Jury, należy dla układu sprawdzić kilka mniejszych kryteriów – jeśli którekolwiek z nich nie będzie spełnione, to oznacza, że układ jest niestabilny.

Sprawdzanie kryteriów

Niech dane będzie równanie charakterystyczne w postaci:

$D(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\dots +a_N{z}^N.$

Następujące kryteria określają, czy układ ma jakieś bieguny poza okręgiem jednostkowym (czyli w obszarze niestabilnym). Wartość $N$ w poniższych testach określa stopień wielomianu charakterystycznego.

Układ musi spełnić wszystkie poniższe kryteria, aby można go określić stabilnym. Jeśli układ nie spełni któregokolwiek testu, można od razu przerwać badanie – wykonywanie kolejnych testów nie jest potrzebne.

Zasada 1.

Jeśli $z$ równa się 1, to wyjście układu musi być dodatnie:

$D(1)>0.$

Zasada 2.

Jeśli $z$ równa się −1, wówczas musi być spełniony następujący związek:

$(-1{)}^{N}D(-1)>0.$

Zasada 3.

Wartość bezwzględna stałego wyrażenia $a_0$ musi być mniejsza niż wartość najwyższego współczynnika $a_N:$

$|a_0|<a_N.$

Jeśli Zasada 1, Zasada 2 i Zasada 3 są spełnione, należy skonstruować szereg Jury (patrz sekcja poniżej).

Zasada 4.

Gdy został już utworzony szereg Jury, wszystkie następujące relacje muszą być spełnione, aż do końca szeregu:

$|b_0|>|b_{N-1}|,$

$|c_0|>|c_{N-2}|,$

$|d_0|>|d_{N-3}|.$

i tak dalej aż do ostatniego wiersza w szeregu. Jeśli wszystkie te warunki są spełnione, to układ jest stabilny.

Jeśli konstruuje się szereg Jury, można wykonać testy 4. zasady. Jeśli szereg nie spełni tej zasady, w którymś z jej punktów, to można zakończyć wyliczenia szeregu: układ jest niestabilny.

Szereg Jury

Szereg Jury konstruuje się najpierw przez wypisanie szeregu współczynników, a następnie na wypisaniu kolejnego szeregu z tymi samymi współczynnikami, lecz w odwrotnej kolejności. Na przykład jeśli wielomian jest układem trzeciego rzędu, można napisać pierwsze dwa wiersze szeregu Jury w następujący sposób:

$\overline{\underset{\_}{\begin{array}{cccccc}{z}^0& z^1& z^2& z^3& \dots & z^N\\ a_0& a_1& a_2& a_3& \dots & a_N\\ a_N& \dots & a_3& a_2& a_1& a_0\end{array}}}$

Teraz, gdy już wypisany został pierwszy rząd współczynników, dodaje się inny wiersz współczynników (użyte zostaną oznaczenia $b$ dla tego wiersza i oznaczenia $c$ dla następnego wiersza, jak w poprzedniej konwencji) i wylicza wartości niższych wierszy z wartości wyższych wierszy. Każdy nowo dodany wiersz będzie miał o jeden współczynnik mniej niż wiersz przed nim:

$\overline{\underset{\_}{\begin{array}{ccccccc}1)& a_0& a_1& a_2& a_3& \dots & a_N\\ 2)& a_N& \dots & a_3& a_2& a_1& a_0\\ 3)& b_0& b_1& b_2& \dots & b_{N-1}\\ 4)& b_{N-1}& \dots & b_2& b_1& b_0\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ 2N-3)& v_0& v_1& v_2\end{array}}}$

Uwaga

Ostatni rząd to rząd $2N-3,$ i zawsze ma 3 elementy. Test nie ma sensu jeśli $N=1,$ ale w takim przypadku biegun jest znany.

Gdy już dojdzie się do wiersza z dwoma elementami, można zakończyć konstruowanie szeregu.

Aby wyliczyć wartości wierszy z nieparzystymi numerami, można użyć następujących wzorów. Każdy parzysty wiersz jest równy poprzedniemu wierszowi w odwrotnej kolejności. Wykorzystać można $k$ jako arbitralnie dobraną wartość indeksu. Wzory takie mogą być wielokrotnie wykorzystywane dla wszystkich elementów w szeregu:

$b_k=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_{N-k}\\ a_N& a_k\end{array}\right|$

$c_k=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_{N-1-k}\\ b_{N-1}& b_k\end{array}\right|$

$d_k=\left|\begin{array}{cc}{c}_0& c_{N-2-k}\\ c_{N-2}& c_k\end{array}\right|$

Wzorzec ten może być kontynuowany dla wszystkich niższych wierszy w szeregu, jeśli jest taka potrzeba.