Kryterium Gaussa

Kryterium Gaussa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.

Kryterium

Niech dany będzie szereg liczbowy

Szablon:Wzór

o wyrazach dodatnich. Jeżeli istnieją takie liczby $a,b>0$ oraz ciąg ograniczony $(c_n)$ o tej własności, że dla dostatecznie dużych $n$ zachodzi związek

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=a+\frac{b}{n}+\frac{c_n}{n^2},$

to

• szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdy $a>1$ lub $a=1$ oraz $b>1;$
• szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdy $a<1$ lub $a=1$ oraz $b⩽1$Szablon:Odn.

Przykład zastosowania

Niech $p>0$ oraz niech dany będzie szereg

$1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^p+{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^p+\dots +{\left(\frac{(2n-1)!!}{2n!!}\right)}^p+\dots$

Jest on zbieżny gdy $p>2$ oraz rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, z zastosowania wzoru Taylora wynika, że

$\frac{a_n}{a_{n+1}}={\left(\frac{2n}{2n-1}\right)}^p={(1-\frac{1}{2n})}^p=1+\frac{p}{2n}+\frac{p(p+1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{(2n{)}^2}+o\left(\frac{1}{n^2}\right).$

Wynika stąd, że

$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{\frac{p}{2}}{n}+\frac{c_n}{n^2},$

gdzie ciąg $(c_n)$ jest ograniczonySzablon:Odn.

Dowód

Przypadki, gdy $a>1$ lub $a<1$ wynikają z zastosowania kryterium d’Alemberta, gdyż

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{a}.$

Niech zatem $a=1.$ Wówczas stosując kryterium Raabego:

$R_n=n\cdot (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)=b+\frac{c_n}{n},$

które rozstrzyga zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór gdy $b>1$ lub $b<1.$ Niech więc $b=1.$ W tym przypadku, szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, gdyż stosując kryterium Bertranda:

$B_n=\ln n(n\cdot (\frac{a_{n+1}}{a_n}-1)-1)=\frac{\ln n}{n}\cdot c_n,$

dostaje się

$B=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{B}_n=0$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę