Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów liczbowych

Kryterium Dirichleta – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych udowodnione przez Petera Gustawa Dirichleta. Kryterium to może być postrzegane jako szczególny przypadek kryterium Dirichleta zbieżności szeregów funkcyjnych.

Kryterium

Niech $(a_{n})_{n = 1}^{\infty}, (b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli

{(\sum_{k = 1}^{n} a_{k})}_{n = 1}^{\infty}

$(b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, który jest monotoniczny i zbieżny do 0,

to szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

jest zbieżnySzablon:Odn.

Niech $(s_{n})_{n = 1}^{\infty}$ oznacza ciąg sum częściowych ciągu $(a_{n})_{n = 1}^{\infty},$ tj.

s_{n} = \sum_{j = 1}^{n} a_{j} (n \in ℕ) .

Z ograniczności ciągu $(s_{n})_{n = 1}^{\infty}$ wynika istnienie takiej liczby $r > 0,$ że dla każdego $n$

| s_{n} | ⩽ r .

Stąd, dla dowolnych liczb naturalnych $n, k \in ℕ$ zachodzi

Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy:

a_{n + 1} b_{n + 1} + \dots + a_{n + k} b_{n + k} = (b_{n + 1} - b_{n + 2}) a_{n + 1} + (b_{n + 2} - b_{n + 3}) (a_{n + 1} + a_{n + 2}) + \dots + (b_{n + k - 1} - b_{n + k}) (a_{n + 1} + \dots + a_{n + k - 1}) + b_{n + k} (a_{n + 1} + \dots + a_{n + k}) .

Nakładając na obie strony wartość bezwzględną oraz uwzględniając Szablon:LinkWzór i monotoniczność ciągu $(b_{n}),$ dostajemy

| a_{n + 1} b_{n + 1} + \dots + a_{n + k} b_{n + k} | ⩽ 2 r ((b_{n + 1} - b_{n + 2}) + (b_{n + 2} - b_{n + 3}) + \dots + (b_{n + k - 1} - b_{n + k}) + b_{n + k}) = 2 r b_{n + 1} .

Zatem

| a_{n + 1} b_{n + 1} + \dots + a_{n + k} b_{n + k} | ⩽ 2 r b_{n + 1} .

Niech $ε > 0 .$ Na mocy założenia o zbieżności ciągu $(b_{n})_{n = 1}^{\infty}$ istnieje takie $n_{0},$ że dla każdego $n ⩾ n_{0}$

b_{n} < ε / 2 r .

Ponieważ powyższa nierówność jest prawdziwa dla każdego $k,$ szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} b_{n}

Szablon:Cytuj
Szablon:Cytuj
Lech Górniewicz, Roman S. Ingarden Analiza matematyczna dla fizyków tom 1: Toruń, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 1994.