Izomorfizm porządków

Izomorfizm porządków – pojęcie w matematyce określające funkcję pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanymi pokazującą, że porządki te wyglądają tak samo. Termin ten jest również używany na określenie relacji bycia izomorficznymi porządkami.

Definicja

Niech $(X,⩽),$ $(Y,⊑)$ będą porządkami częściowymi. Powiemy, że funkcja $f:X⟶Y$ jest izomorfizmem porządków X i Y jeśli spełnione są dwa warunki:

• $f$ jest wzajemnie jednoznaczna
• ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in X}(x⩽y⟺f(x)⊑f(y)).$

Porządki $(X,⩽),$ $(Y,⊑)$ nazywamy izomorficznymi, gdy istnieje pomiędzy nimi izomorfizm.

Własności

Niech $(X,⩽),$ $(Y,⊑)$ będą porządkami częściowymi. Jeśli porządki te są izomorficzne, to:

• zbiory $X$ i $Y$ są równej mocy (ponieważ izomorfizm jest bijekcją)
• porządki $(X,⩽),$ $(Y,⊑)$ mają taki sam diagram Hassego, tzn. muszą mieć taką samą liczbę elementów wyróżnionych: maksymalnych, minimalnych, oba muszą jednocześnie mieć lub nie mogą mieć elementu największego/najmniejszego.

Przykłady

Niech $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$ oznaczają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, odpowiednio, a $⩽$ niech będzie naturalnym porządkiem.

• Porządki $(\mathbb{N},⩽)$ i $(ℝ,⩽)$ nie są izomorficzne (zbiory $\mathbb{N}$ i $ℝ$ są różnej mocy)
• Porządki $(\mathbb{N},⩽)$ i $(\mathbb{Q},⩽)$ nie są izomorficzne – co prawda zbiory są równej mocy, lecz zbiór $\mathbb{Q}$ jest gęsty, a $\mathbb{N}$ nie.
• Porządki $(\mathbb{N},⩽)$ i $(\mathbb{Z},⩽)$ nie są izomorficzne, bo w $\mathbb{N}$ 0 jest elementem najmniejszym, a w $\mathbb{Z}$ nie ma elementu najmniejszego.
• Niech $(\mathbb{P},⩽)$ będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych z naturalnym porządkiem. Wówczas porządki $(\mathbb{N},⩽)$ i $(\mathbb{P},⩽)$ są izomorficzne, a izomorfizmem pomiędzy nimi jest funkcja odwzorowująca liczbę naturalną n na n-tą liczbę pierwszą.