Inwersja obsadzeń

Inwersja obsadzeń w mechanice statystycznej – stan układu, w którym liczba cząstek o energii wyższej jest większa niż cząsteczek o energii niższej. Inwersja obsadzeń jest wykorzystana w działaniu lasera.

Rozkład Boltzmanna

Jeżeli układ statystyczny (atomów) składa się z wielu prostych układów, z których każdy może przyjmować jeden z dwóch stanów

1. poziom podstawowy o energii $E_1$ lub
2. poziom wzbudzony o energii $E_2,$ przy czym $E_2>E_1.$

Liczba atomów w stanie podstawowym jest określona przez $N_1,$ a w stanie wzbudzonym przez $N_2.$ Różnica energii między poziomami determinuje pochłonięcie lub emisję fotonu o częstości ${\nu }_{21}$ określonej wzorem

$E_2-E_1=\mathrm{\Delta }E=h{\nu }_{21},$

gdzie $h$ to stała Plancka.

Układ ten, zgodnie z rozkładem Boltzmanna, w temperaturze $T$ będzie miał rozkład obsadzeń

$\frac{N_2}{N_1}=\exp \left(\frac{-(E_2-E_1)}{kT}\right),$

gdzie:

$k$ – stała Boltzmanna,

$T$ – temperatura.

Wnioski z rozkładu Boltzmanna:

• W temperaturze zera bezwzględnego, wszystkie atomy znajdują się w stanie o najniższej energii.
• Wzrost temperatury powoduje wzrost liczby atomów w stanie o większej energii.
• W dowolnej temperaturze więcej atomów będzie w stanie o niższej energii $(E_1),$ niż w stanie o wyższej energii $(E_2).$

W pewnych warunkach możliwe jest doprowadzenie do stanu, w którym więcej atomów znajduje się w wyższym stanie wzbudzenia. Układ taki nie jest trwały i dąży do rozkładu zgodnego z rozkładem Boltzmanna. Stan taki nazywamy inwersją obsadzeń.

Stan inwersji obsadzeń jest warunkiem pracy lasera.

Wzór Boltzmanna (rozkład kanoniczny)

Układ klasyczny mogący wymieniać energię z otoczeniem utrzymywany w temperaturze $T$ opisany jest wzorem Boltzmanna, tj. rozkładem kanonicznym:

$P(x)=\frac{1}{Z}\exp \left(\frac{-U(x)}{kT}\right),$

gdzie:

$P(x)$ – prawdopodobieństwo realizacji stanu makroskopowego przez dany stan mikroskopowy $x,$

$U(x)$ – energia w stanie mikroskopowym $x.$

$Z=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp \left(\frac{-U(x)}{kT}\right)\text{d}x,$ kiedy energia jest skwantowana, wtedy zamiast całki należy zastosować sumowanie po wszystkich jej możliwych wartościach. Jest to suma statystyczna zwana również funkcją rozdziału.