Interpolacja dwuliniowa

$Q_{xy}$ – punkty, w których wartość funkcji jest znana; $P$ – punkt interpolowany

Interpolacja dwuliniowa (Szablon:Ang.) – metoda rozszerzająca interpolację liniową na interpolację funkcji dwóch zmiennych. Intuicyjnie jest złożeniem dwóch interpolacji liniowych.

W celu przeprowadzenia interpolacji dwuliniowej przeprowadza się dwie interpolacje liniowe dla jednego kierunku (np. wzdłuż osi $OX$ w układzie współrzędnych kartezjańskim), a następnie dla tak uzyskanych wartości przeprowadza się interpolację liniową dla drugiego kierunku (w tym przypadku osi $OY$).

Najpierw przeprowadzana jest interpolacja liniowa wzdłuż osi $OX,$ więc otrzymuje się:

$f(R_1)\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})\text{gdzie}{R}_1=(x,y_1),$

$f(R_2)\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22})\text{gdzie}{R}_2=(x,y_2).$

Następnie przeprowadzana jest interpolacja wzdłuż osi $OY:$

$f(P)\approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(R_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(R_2).$

Szablon:ClearJeśli przyjmie się system współrzędnych, w którym znane wartości funkcji $f$ znajdują się w punktach o współrzędnych $Q_{11}(0,0),Q_{12}(0,1),Q_{21}(1,0)\text{i}{Q}_{22}(1,1),$ wtedy wzór na interpolację upraszcza się do postaci:

$f(x,y)\approx f(0,0)(1-x)(1-y)+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f(1,1)xy.$

Postać macierzowa równania:

$f(x,y)\approx \left[\begin{array}{cc}1-x& x\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}f(0,0)& f(0,1)\\ f(1,0)& f(1,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1-y\\ y\end{array}\right].$

Interpolacja dwuliniowa używana jest m.in. w algorytmach służących do zmiany rozdzielczości obrazu cyfrowego (skalowania).

Zobacz też

• interpolacja w grafice komputerowej