Iloczyn zewnętrzny (tensory)

Iloczyn zewnętrzny (nie mylić z algebrą zewnętrzną) jest zdefiniowany następująco: mając dwa wektory kolumnowe (kontrawariantne)

$𝐮=\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ u^2\\ ⋮\\ u^m\end{array}\right],𝐯=\left[\begin{array}{c}{v}^1\\ v^2\\ ⋮\\ v^n\end{array}\right]$

ich iloczyn zewnętrzny jest macierzą $𝐀,$ o m wierszach i n kolumnach, postaci

$𝐮\otimes 𝐯\equiv \left[\begin{array}{cccc}{u}^1{v}^1& u^1{v}^2& \dots & u^1{v}^n\\ u^2{v}^1& u^2{v}^2& \dots & u^2{v}^n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ u^m{v}^1& u^m{v}^2& \dots & u^m{v}^n\end{array}\right]=𝐀$

gdzie elementy macierzy $𝐀$ wyrażają się wzorem $A^{ij}=u^i{v}^j.$ Dla ortogonalnych układów współrzędnych (dla których wektory kowariantne są równe kontrawariantnym tj. $u_i=u^i$) można użyć notacji mnożenia macierzowego

$𝐮\otimes 𝐯=𝐮\cdot {𝐯}^T=\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ u^2\\ ⋮\\ u^m\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cccc}{v}^1& v^2& \dots & v^n\end{array}\right]$

gdzie $T^{}$ w górnym indeksie oznacza transpozycję. Zwróćmy uwagę, że powyższe mnożenie macierzowe wektora kolumnowego z wierszowym jest możliwe, gdyż liczba kolumn wektora lewego zgadza się z liczbą wierszy wektora prawego (która jest równa 1, a całe działanie daje w wyniku macierz).

Przykład

Dla kartezjańskiego układu współrzędnych

$\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}1\\ 10\\ 100\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]\cdot {\left[\begin{array}{c}1\\ 10\\ 100\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& 10& 100\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 20& 200\\ 3& 30& 300\\ 4& 40& 400\\ 5& 50& 500\end{array}\right]$