Graniczna liczba porządkowa

Graniczna liczba porządkowa – liczba porządkowa, która nie jest następnikiem innej liczby porządkowej. Bardziej precyzyjnie liczba porządkowa $\lambda$ jest graniczną liczbą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej innej liczby porządkowej $\alpha <\lambda$ zachodzi $\alpha +1<\lambda .$

Liczba porządkowa jest graniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa sumie (teoriomnogościowej) swoich elementów (w przeciwnym wypadku suma ta jest poprzednikiem). Liczba 0 również spełnia definicję liczby granicznej, jednak czasem ze względów technicznych matematycy nie zaliczają jej do ich grona.

Przykłady

• Żadna skończona liczba porządkowa (liczba naturalna) większa niż 0 nie jest graniczna.
• $\omega$ jest liczbą porządkową graniczną – istnienie tej liczby gwarantuje aksjomat nieskończoności.
• Istnieje nieprzeliczalnie wiele przeliczalnych liczb porządkowych granicznych.
• Każda liczba epsilonowa jest graniczna.
• ${\omega }_1=ℍ(\omega ),$ gdzie $ℍ$ oznacza wartość funkcji Hartogsa na zbiorze $\omega ,$ jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, będącą jednocześnie liczbą graniczną.
• Każda liczba kardynalna jest liczbą porządkową graniczną.

Przykładami porządkowych liczb granicznych są:

$0,\omega ,\omega +\omega ,\dots ,\omega \cdot n,\dots ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^m,\dots ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},\dots ,{\epsilon }_0={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\dots }}},\dots .$

gdzie $n$ i $m$ są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę