Gęstość Sznirelmana

Gęstość Sznirelmana – pojęcie addytywnej teorii liczb wprowadzone przez rosyjskiego matematyka Lwa Sznirelmana. Jest zdefiniowana dla podzbiorów zbioru liczb naturalnych jako:

$\sigma A=\underset{n}{\inf }\frac{A(n)}{n},$

gdzie A(n) to liczba elementów zbioru A nieprzekraczających n, inf to infimum.

Własności

• Każdy zbiór ma gęstość Sznirelmana (w odróżnieniu od gęstości naturalnej).
• $\sigma A>0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $d_{*}(A)>0$ i $1\in A,$ gdzie $d_{*}(A)$ oznacza dolną gęstość naturalną.
• $\sigma A=1$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ zawiera wszystkie liczby naturalne.
• Jeżeli $1\in A$ i $0\in B,$ to

$\sigma (A+B)⩾\sigma A+\sigma B-\sigma A\sigma B,$

gdzie $A+B$ oznacza sumę algebraiczną zbiorów.

Baza addytywna i twierdzenia udowodnione przy użyciu gęstości Sznirelmana

Baza addytywna jest definiowana jako zbiór $A$ taki, że dla pewnego $k$ zachodzi $kA=\mathbb{N}.$

• Jeśli zbiór $A$ zawiera 0 i ma dodatnią gęstość Sznirelmana, to jest bazą addytywną.
• każda liczba naturalna (większa od jedności) może być zapisana w postaci sumy co najwyżej 20 liczb pierwszych.
• Dla każdej liczby naturalnej $k$ istnieje liczba $n_k$ taka, że każda liczba naturalna jest sumą co najwyżej $n_k$ $k$-tych potęg liczb naturalnych (Problem Waringa).

Bibliografia

• Władysław Narkiewicz, Teoria liczb, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1977.