Funkcja modularna Webera

Funkcje modularne Webera – rodzina funkcji zespolonych zdefiniowanych przez Heinricha Webera.

Niech $\eta$ oznacza funkcję modularną Dedekinda, zaś ${\zeta }_{48}$ oznacza pierwiastek jedności 48. stopnia. Funkcje Webera definiujemy w sposób następujący:

$f(\tau )=\frac{\eta (\frac{1}{2}(\tau +1))}{{\zeta }_{48}\eta (\tau )}$

$f_1(\tau )=\frac{\eta (\frac{1}{2}\tau )}{\eta (\tau )}$

$f_2(\tau )=\sqrt{2}\frac{\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}$

${\gamma }_2(\tau )=\frac{f^{24}(\tau )-16}{f^8(\tau )}$

${\gamma }_3(\tau )=\frac{[f^{24}(\tau )+8][f_1^8(\tau )-f_2^8(\tau )]}{f^8(\tau )}$

Funkcje Webera są wykorzystywane w praktyce m.in. we współczesnych wersjach algorytmu ECPP służącego do dowodzenia pierwszości liczb.

Bibliografia

• Weber, H. Lehrbuch der Algebra, Vols. I-II. New York: Chelsea, pp. 113-114, 1902
• Atkin, A. O. L. and Morain, F. Elliptic Curves and Primality Proving. Math. Comput. 61, 29-68, 1993