Funkcja Żukowskiego

Funkcja Żukowskiego – funkcja wymierna zmiennej zespolonej $f:ℂ\setminus \{0\}\ni \zeta \to z\in ℂ$ określona wzorem:

$z=\lambda (\zeta )=\frac{1}{2}(\zeta +\frac{1}{\zeta }).$

Przykład transformaty Żukowskiego. Okrąg (powyżej) jest przekształcany na profil Żukowskiego (poniżej)

Odwzorowanie Żukowskiego przyporządkowujące punktowi $\zeta =\chi +i\eta$ punkt $z=x+iy$ można określić następująco

$\begin{array}{cc}z& =\frac{1}{2}(\zeta +\frac{1}{\zeta })\\ & =\frac{1}{2}(\chi +i\eta +\frac{1}{\chi +i\eta })\\ & =\frac{1}{2}(\chi +i\eta +\frac{(\chi -i\eta )}{{\chi }^2+{\eta }^2})\\ & =\frac{1}{2}(\frac{\chi ({\chi }^2+{\eta }^2+1)}{{\chi }^2+{\eta }^2}+i\frac{\eta ({\chi }^2+{\eta }^2-1)}{{\chi }^2+{\eta }^2}).\end{array}$

Zatem jej część rzeczywista jest równa $x=\frac{1}{2}\frac{\chi ({\chi }^2+{\eta }^2+1)}{{\chi }^2+{\eta }^2},$ a część urojona jest równa $y=\frac{1}{2}\frac{\eta ({\chi }^2+{\eta }^2-1)}{{\chi }^2+{\eta }^2}.$

W obszarze $ℂ\setminus \{0\}$ jest to funkcja holomorficzna, bo ma na nim różną od zera pochodną:

$z^{\prime }={\lambda }^{\prime }(\zeta )=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{\zeta }^2}).$

Jej zastosowania w hydrodynamice odkrył uczony rosyjski Nikołaj Żukowski. Z ich pomocą skonstruował on profil Żukowskiego, który jest obrazem okręgu stycznego do okręgu jednostkowego w punkcie $\zeta =1.$ Funkcję Żukowskiego (często w odniesieniu do przekształcenia konkretnego okręgu na profil) nazywa się także odwzorowaniem Żukowskiego lub transformacją Żukowskiego.

Funkcję tę można rozważać jako funkcję meromorficzną w płaszczyźnie zespolonej domkniętej. Funkcja ta ma dwa bieguny pierwszego rzędu w punktach 0 i $\mathrm{\infty }$.

Funkcja Żukowskiego odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zarówno wnętrze, jak i zewnętrze okręgu jednostkowego na zewnętrze odcinka $-1⩽z⩽+1$ (osi rzeczywistej). Przy tym okręgi $|\zeta |=r$ są odwzorowywane na elipsy o ogniskach $\pm 1$ i półosiach $\frac{1}{2}|r\pm \frac{1}{r}|,$ a pary średnic okręgu jednostkowego symetrycznych względem osi współrzędnych, składających się z promieni $z=\pm r(\cos \alpha \pm i\sin \alpha )$ dla $0⩽r<1$ są odwzorowywane na hiperbole o ogniskach $\pm 1$ i półosiach $|\cos \alpha |,|\sin \alpha |$ z wyłączeniem wierzchołków tych hiperbol.

Przykłady profilów Żukowskiego

Przekształcenie Żukowskiego okręgu jednostkowego jest przypadkiem szczególnym.

$|\zeta |=\sqrt{{\chi }^2+{\eta }^2}=1,\text{co daje}{\chi }^2+{\eta }^2=1.$

Dlatego część rzeczywista obrazu jest równa $x=\frac{1}{2}\left(\frac{\chi (1+1)}{1}\right)=\chi ,$ a część urojona $y=\frac{1}{2}\left(\frac{\eta (1-1)}{1}\right)=0.$

Stąd wynika, że okrąg jednostkowy jest przekształcany na przedział $⟨-1;1⟩$ osi liczb rzeczywistych.

Obrazy innych okręgów dają szerokie spektrum przekrojów skrzydeł.

Przekształcenie Kármána-Trefftza

W celu subtelniejszego wykorzystania, funkcję Żukowskiego można przedstawić w postaci złożenia trzech funkcji, w każdej z których można umieścić pewien parametr. Nazywa się ją uogólnioną funkcją Żukowskiego lub odwzorowaniem Kármána-Trefftza i stanowi ważny instrument modelowania przepływów. Po pominięciu współczynnika $\frac{1}{2}$ funkcja Żukowskiego może być przedstawiona jako złożenie trzech funkcji zespolonych.

$z=f(\zeta )=\zeta +\frac{1}{\zeta }=S_3(S_2(S_1(\zeta ))),$

gdzie:

$S_3(u)=2\frac{1+u}{1-u},$

$S_2(v)=v^2,$

$S_1(w)=\frac{w-1}{w+1},$

czyli

$z=2\frac{1+{\left(\frac{\zeta -1}{\zeta +1}\right)}^2}{1-{\left(\frac{\zeta -1}{\zeta +1}\right)}^2}=2\frac{{(1+\frac{1}{\zeta })}^2+{(1-\frac{1}{\zeta })}^2}{{(1+\frac{1}{\zeta })}^2-{(1-\frac{1}{\zeta })}^2}.$

Wynika to z tego, że po dodaniu i odjęciu 2 od funkcji Żukowskiego:

$\begin{array}{cc}z+2& =\zeta +2+\frac{1}{\zeta }=\frac{1}{\zeta }{(\zeta +1)}^2,\\ z-2& =\zeta -2+\frac{1}{\zeta }=\frac{1}{\zeta }{(\zeta -1)}^2\end{array}$

oraz podzieleniu obu wyrażeń przez siebie otrzymuje się:

$\frac{z-2}{z+2}={\left(\frac{\zeta -1}{\zeta +1}\right)}^2.$

Rozwiązując to równanie względem $z$ uzyskuje się:

$z=2\frac{{(\zeta +1)}^2+{(\zeta -1)}^2}{{(\zeta +1)}^2-{(\zeta -1)}^2}=2\frac{{(1+\frac{1}{\zeta })}^2+{(1-\frac{1}{\zeta })}^2}{{(1+\frac{1}{\zeta })}^2-{(1-\frac{1}{\zeta })}^2}.$

Przykład przekształcenia Kármána-Trefftza. Okrąg powyżej w $\varsigma$-płaszczyźnie jest przekształcany na profil Kármána-Trefftza poniżej, w $z$-płaszczyźnie. Użyto parametrów: ${\mu }_x=-0,08,$ ${\mu }_y=+0,08$ i $n=1,94.$

Przekształcenie Kármána-Trefftza jest przekształceniem konforemnym ściśle związanym z przekształceniem Żukowskiego. Podczas gdy profil Żukowskiego ma szpiczastą krawędź spływu, profil Kármána-Trefftza – który jest obrazem przekształcenia okręgu z $\varsigma$-płaszczyzny w fizycznej $z$-płaszczyzny, analogicznie do definicji profilu Żukowskiego – ma niezerowy kąt w krawędzi spływu, między górną i dolną powierzchnią profilu. Przekształcenie Kármána-Trefftza wymaga zatem dodatkowego parametru: kąta $\alpha$ w krawędzi spływu. Przekształcenie to wyraża się wzorem:

$z=n\frac{{(1+\frac{1}{\zeta })}^n+{(1-\frac{1}{\zeta })}^n}{{(1+\frac{1}{\zeta })}^n-{(1-\frac{1}{\zeta })}^n},$

gdzie parametr $n$ jest nieco mniejszy od 2. Kąt $\alpha ,$ między stycznymi do górnej i dolnej powierzchni profilu w krawędzi spływu jest związany z $n$ następująco:

$\alpha =2\pi -n\pi \text{ i }n=2-\frac{\alpha }{\pi }.$

Pochodna $dz/d\zeta ,$ potrzebna do obliczenia pola prędkości, jest równa:

$\frac{dz}{d\zeta }=\frac{4n^2}{{\zeta }^2-1}\frac{{(1+\frac{1}{\zeta })}^n{(1-\frac{1}{\zeta })}^n}{{[{(1+\frac{1}{\zeta })}^n-{(1-\frac{1}{\zeta })}^n]}^2}.$