Fałszywy pierwiastek

Fałszywy pierwiastek (fr. faussent) – archaiczne pojęcie matematyczne, w arytmetyce odcinków oznaczające rozwiązanie równania będące liczbą ujemnąSzablon:Odn. Pojęcie wprowadził Kartezjusz jako odpowiedź na nieścisłości współtworzonej przez niego nowoczesnej arytmetyki XVII-wiecznejSzablon:Odn. Uznaje się to za pierwsze w historii matematyki europejskiej użycie liczb ujemnych.

Problem istnienia takich pierwiastków wynikał z interpretowania działań algebraicznych jako operacje w ciele odcinków. Wszystkie liczby, niewiadome oraz rozwiązania równań były traktowane jako długości odpowiednich odcinkówSzablon:Odn lub wręcz same odcinkiSzablon:Odn. Ponieważ nie istnieją odcinki o ujemnych długościach, pojawił się problem z interpretacją ujemnych pierwiastków zadanych równańSzablon:Odn.

Kartezjusz w Geometrii pisał: Szablon:Cytat

Pierwiastki są wielkościami ($x$ jest odcinkiem), zatem nie można im przypisać wartości ujemnejSzablon:Odn. Konieczność wykonywania operacji na pierwiastkach fałszywych spowodowała potrzebę stworzenia dodatkowych zabiegów matematycznych z nimi związanych – przykładowo Kartezjusz, porównując pierwiastki prawdziwe z fałszywymi, w rzeczywistości porównuje ich wartości bezwzględneSzablon:Odn (widać to również w powyższym cytacie, w którym Kartezjusz pierwiastek fałszywy określił jako $5,$ a nie $-5,$ zatem w rzeczywistości wskazał moduł ujemnego rozwiązania).

Kartezjusz stworzył i opisał arytmetykę pierwiastków prawdziwych i fałszywych, opierającą się m.in. na modułach pierwiastków fałszywych, co obrazują poniższe cytaty:

• liczba fałszywych pierwiastków

• zmniejszanie wymiaru równania

• działania na pierwiastkach

• zamienianie pierwiastków prawdziwych na fałszywe lub odwrotnie

• a także bardziej skomplikowane operacje, np. co zrobić, by wszystkie fałszywe pierwiastki stały się prawdziwymi, lecz by prawdziwe nie stały się fałszywymiSzablon:Odn albo jak można pominąć drugi wyraz równaniaSzablon:Odn.

Opieranie pojęcia pierwiastków fałszywych na ich wartościach bezwzględnych widać również z tym zdaniu: Szablon:Cytat

Kartezjusz w swoim dziele, Geometria, odwoływał się do Artis Magnæ Girolamo Cardano, w którym stworzone zostało pojęcie liczby fikcyjnejSzablon:Odn, co mogło stać się inspiracją dla stworzenia pojęcia pierwiastka fałszywego. Kartezjusz oprócz nowatorskiego rozumienia natury ujemnych rozwiązań równań (stworzenie nowej interpretacji dla niemożliwej ujemnej długości odcinka) przyczynił się także do stworzenia pojęcia liczby urojonejSzablon:Odn (interpretacja dla kwadratu o ujemnym polu), które przekraczało wyobraźnię CardanoSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę