Arytmetyka odcinków (Kartezjusz)

Arytmetyka odcinków (w ujęciu Kartezjusza) – archaiczne pojęcie matematyczne geometrii i algebry, polegające na odkrywaniu i dowodzeniu własności algebraicznych (jak np. własności dodawania, mnożenia, pierwiastkowania liczb, poszukiwanie pierwiastków równań algebraicznych) poprzez konstrukcje geometryczne, głównie za pomocą odcinków (zwanych w tej koncepcji wielkościami).

Stworzony przez arytmetykę odcinków pomost pomiędzy geometrią i algebrą obrazuje następujący cytat Kartezjusza: Szablon:Cytat

Arytmetyka odcinków w Geometrii

Pierwsza strona Geometrii, stanowiąca wstęp do arytmetyki odcinków

Swoją arytmetykę odcinków zdefiniował Kartezjusz w Geometrii (1637), w księdze pierwszej (O problemach, w których linie proste i okręgi wystarczą do przeprowadzenia konstrukcji)Szablon:Odn. Sama struktura dzieła (tytuły początkowych paragrafów Księgi Pierwszej Geometrii) świadczy o tematyce, jaka jest w tej księdze poruszana:

• Jak rachunek arytmetyczny odnosi się do działań geometrycznychSzablon:Odn,
• Mnożenie Szablon:Odn,
• DzielenieSzablon:Odn,
• Wyciąganie pierwiastkaSzablon:Odn,
• Jak używać znaków w geometriiSzablon:Odn.

Związek arytmetyki odcinków Kartezjusza z arytmetyką odcinków Euklidesa

W arytmetyce odcinków Kartezjusza widać wyraźne wpływy antycznej arytmetyki odcinków, ale także nowe myśli (dużo bliższe współczesnej matematyce)Szablon:OdnSzablon:Odn. O związkach z teorią proporcji Euklidesa świadczą takie sformułowania, jak np.: znaleźć średnią proporcjonalną albo znaleźć czwartą linię, która będzie do jednej z tych danych, tak jak druga jest do jednościSzablon:Odn. Nowymi pojęciami jest odcinek jednostkowy i działania na odcinkach (mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie)Szablon:Odn. Nowością są także stosowane przez Kartezjusza oznaczenia i notacjeSzablon:Odn.

Kolejną rewolucyjną kwestią odróżniającą arytmetykę odcinków Kartezjusza od antycznych konstrukcji Euklidesa jest to, iż Kartezjusz stara się sprowadzać wszystkie wielkości do odcinkówSzablon:OdnSzablon:Odn – dla Euklidesa $ab$ oznaczało prostokąt o bokach $a$ i $b,$ a dla Kartezjusza $ab$ jest odcinkiem o długości $a\cdot b$Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Odcinek jednostkowy

Kartezjusz wskazuje na odcinek jednostkowy $1$ jako taki, dla którego $a\cdot 1=a=\frac{a}{1}$Szablon:Odn. Nie podaje osobno tego faktu, lecz od razu używa tej własności przy opisywaniu pierwiastkowania odcinkówSzablon:Odn:

Działania w arytmetyce odcinków (oryginalne słowa Kartezjusza)

Mnożenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest mnożenie odcinków, w następujący sposób: Szablon:Cytat

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania: Szablon:Cytat

Dzielenie

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca mnożeniu i dzieleniu odcinków

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest dzielenie odcinków, w następujący sposób: Szablon:Cytat

Następnie opisuje dokładną konstrukcję tego działania: Szablon:Cytat

Wyciąganie pierwiastka z odcinka

Kartezjusz wstępnie opisuje czym jest pierwiastkowanie odcinków, w następujący sposób: Szablon:Cytat

Pierwiastek kwadratowy z odcinka

Oryginalna ilustracja Kartezjusza służąca pierwiastkowaniu odcinków, $GI=\sqrt{GH}$

Następnie opisuje dokładną konstrukcję wyciągania pierwiastka kwadratowego z odcinka: Szablon:Cytat

Pierwiastki wyższych stopni

Kartezjusz przedstawia konstrukcje nieklasyczne pierwiastków wyższych stopni, pisząc:

• o pierwiastkach trzeciego stopnia:

• o pierwiastkach czwartego stopnia:

• o pierwiastkach szóstego stopnia:

Współczesne wyjaśnienie arytmetyki odcinków Kartezjusza

W arytmetyce odcinków zdefiniowanej w Geometrii występuje kilka nieścisłościSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn. Nie wiadomo, czy następujące związki arytmetyki z teorią proporcji:

• z proporcji $BE:BD::BC:1$ Kartezjusz wnioskuje: „wówczas $BE$ jest iloczynem $BD$ oraz $BC$”Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn;
• z proporcji $BC:BE::1:BD$ Kartezjusz wnioskuje: „$BC$ jest wynikiem dzielenia $BE$ przez $BD$”Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn
• z proporcji $1:GI::GI:GH$ Kartezjusz wnioskuje, że średnia proporcjonalna $GI$ jest pierwiastkiem z $GH$Szablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn

są dla Kartezjusza definicjami, czy twierdzeniamiSzablon:OdnSzablon:OdnSzablon:Odn.

Przyjmując, że te równości są definicjami, można współcześnie jasnym językiem przedstawić konstrukcje oparte na arytmetyce odcinkówSzablon:Odn. W poniższych sekcjach stosowane zapisy matematyczne są częściowo uwspółcześnione, dla łatwiejszego zrozumienia przedstawianych konstrukcji i dowodów rozumowań. W dowodach będziemy stosować definicje arytmetyki odcinków oraz własności proporcji z Elementów Euklidesa.

Mnożenie

Szablon:Grafika rozwinięta Iloczyn odcinków $a$ oraz $b$ konstruujemy w sposób następującySzablon:Odn. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kątaSzablon:Odn (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków $1$ i $b,$ a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka $a$Szablon:Odn.

Przyjmijmy następującą definicję mnożenia w arytmetyce odcinków:

$x=a\cdot b{\iff }_{def}a:1::x:b$Szablon:Odn.

Konstrukcja przedstawiona powyżej spełnia tę definicję mnożeniaSzablon:Odn.

Definicja ta jest jednoznacznaSzablon:Odn.

Dowód.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają iloczyn odcinków $a$ i $b$ uzyskany w różnych konstrukcjachSzablon:Odn. Wtedy, z definicji, mamy:

$a:1::x:b,$

$a:1::y:b$Szablon:Odn.

Z tych dwóch proporcji wynika, że:

$x:b::y:b$Szablon:Odn.

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

$x=y$Szablon:Odn. q.e.d.

Element neutralny mnożenia

Wykażemy, że $a\cdot 1=a$Szablon:Odn. Posłużymy się do tego konstrukcją z rysunku powyżejSzablon:Odn.

Dowód.

Odcinek $a$ wyznaczony jest poprzez proporcję:

$a:1::(a\cdot 1):1$Szablon:Odn.

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

$a=a\cdot 1$Szablon:Odn. q.e.d.

Przemienność mnożenia

Wykażemy, że mnożenie odcinków jest przemienneSzablon:Odn.

Dowód.

Na podstawie definicji mnożenia odcinków mamy następujące dwie proporcje:

$ba:a::b:1,$

$a:1::ab:a$Szablon:Odn.

Dzięki twierdzeniu V.23 z powyższych dwóch proporcji otrzymamy:

$ba:1::ab:1$Szablon:Odn.

Twierdzenie V.9 sprawia, że z powyższej proporcji otrzymujemy:

$ba=ab$Szablon:Odn. q.e.d.

Dzielenie

Szablon:Grafika rozwinięta Iloraz odcinków $a$ oraz $b$ konstruujemy w sposób następującySzablon:OdnSzablon:Odn. Oba odcinki odkładamy odpowiednio na dwóch różnych ramionach kątaSzablon:OdnSzablon:Odn (jak na rysunku powyżej). Łączymy końce odcinków $a$ i $b,$ a następnie konstruujemy równoległą do powstałego odcinka, przechodzącą przez koniec odcinka $1$Szablon:OdnSzablon:Odn.

Przyjmijmy następującą definicję dzielenia w arytmetyce odcinków:

$x=a\cdot b{\iff }_{def}a:1::x:b$Szablon:Odn.

Przedstawiona powyżej konstrukcja spełnia tę definicjęSzablon:Odn

Element odwrotny

Proporcja

$1:a::x:1$

wyznacza odcinek $\frac{1}{a}$Szablon:Odn. Powyższy rysunek przedstawia odpowiednią konstrukcjęSzablon:Odn. Konstrukcja ta również pokazuje, że:

$a\cdot \frac{1}{a}=1$Szablon:Odn.

Dzielenie przez 1

Zauważając, że:

$a:1::a:1,$

otrzymujemy:

$a=\frac{1}{a}$Szablon:Odn.

Proporcja

Arytmetykę odcinków Kartezjusza można powiązać z antyczną arytmetyką odcinków Euklidesa, zapisując proporcje Euklidesa, językiem Kartezjusza, co jest możliwe dzięki poniższym twierdzeniomSzablon:Odn.

Proporcja jako iloraz

proporcja ⇒ iloraz. Dowód algebraiczny.

Niech zachodzi proporcja:

$a:b::c:d$Szablon:Odn.

Na podstawie definicji dzielenia odcinków otrzymamy:

$a:b::\frac{a}{b}:1,$

$c:d::\frac{c}{d}:1$Szablon:Odn.

Z tych trzech proporcji wynika następujący fakt:

$\frac{a}{b}:1::\frac{c}{d}:1$Szablon:Odn.

Korzystając z otrzymanej proporcji oraz twierdzenia V.9 otrzymujemy:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$Szablon:Odn. q.e.d.

proporcja ⇒ iloraz. Dowód geometryczny.

Niech zachodzi proporcja:

$a:b::c:d$Szablon:Odn.

Na podstawie twierdzenia VI.2 wiemy, że proste przechodzące przez krańce odcinków $a,b$ oraz $c,d$ są równoległeSzablon:Odn. Konstrukcja ułamka wymaga poprowadzenia prostej równoległej, przechodzącej przez $1,$ ale ponieważ obie proste są równoległe, to oba ułamki wyznaczają ten sam punktSzablon:Odn. Zatem:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$Szablon:Odn. q.e.d.

iloraz ⇒ proporcja. Dowód.

Niech $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$Szablon:Odn. Wtedy wszystkie odcinki łączące punkty (na rysunku powyżej) są równoległeSzablon:Odn. Stąd, na podstawie twierdzenia VI.2. otrzymujemy:

$a:b::c:d$Szablon:Odn. q.e.d.

Proporcja jako iloczyn

W podobny sposób można uzasadnić równoważność proporcji z odpowiednim iloczynem odcinkówSzablon:Odn. W tym celu wystarczy zauważyć, że:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff a\cdot d=c\cdot b$Szablon:Odn.

Potęgowanie

Kolejne potęgi odcinka $a$ można tworzyć na podstawie definicji mnożenia dwóch odcinków, przyjmując że oba są równe $a$Szablon:Odn. Innym sposobem konstrukcji kolejnych potęg jest użycie do tego celu mezolabiumSzablon:Odn.

Pierwiastkowanie

Szablon:Grafika rozwinięta Można przyjąć następujące definicje pierwiastkowania:

• $x=\sqrt{a}{\iff }_{def}1:x::x:a$Szablon:Odn
• $x=\sqrt[3]{a}{\iff }_{def}{\mathrm{\exists }}_y(1:x::x:y\wedge x:y::y:a)$Szablon:Odn
• $x=\sqrt[4]{a}{\iff }_{def}{\mathrm{\exists }}_y{\mathrm{\exists }}_z(1:x::x:y\wedge x:y::y:z\wedge y:z::z:a)$Szablon:Odn
• itp.

Pierwiastek kwadratowy można skonstruować sposobem ukazanym na pierwszym rysunku lub poprzez mezolabiumSzablon:Odn. Dzięki mezolabium można skonstruować także $\sqrt[3]{a},$ $\sqrt[4]{a}$ oraz pierwiastki wyższych stopniSzablon:Odn.

Ciało odcinków

Arytmetyka odcinków Kartezjusza może stworzyć ciało uporządkowaneSzablon:Odn.

Warstwa językowa i symboliczna arytmetyki odcinków Kartezjusza

Z symbolami takimi jak np. $a^2,$ $b^3,$ $ab$ Kartezjusz łączy tradycyjne nazewnictwo oraz nowe znaczeniaSzablon:Odn.

Następnie deklaruje, że w odniesieniu do wyrażeń $a^2$ tudzież $b^3$ zachowa tradycyjne nazwy geometryczne (czyli kwadrat oraz sześcian), ale jednocześnie nada im zupełnie nowy sens – $a^2$ i $b^3$ są odcinkami utworzonymi na podstawie definicji iloczynuSzablon:Odn. Podobne dwuznaczności wiążą się z symbolem $ab$Szablon:Odn. Symbol ten był stosowany przez Kartezjusza i innych XVII-wiecznych algebraików, na przykład Johna WallisaSzablon:Odn. Wszędzie, poza Geometrią, oznaczał on prostokąt o bokach $a,b$Szablon:Odn. W La Géometrie wyrażenie $ab$ również jest nazywane prostokątem, choć w rzeczywistości oznacza odcinek $a\cdot b$Szablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę