Element całkowity

Element całkowity – uogólnienie pojęcia elementu algebraicznego na pierścienie całkowite.

Definicja

Niech $P,R$ będą pierścieniami całkowitymi oraz $P\subseteq R.$ Element $a\in R$ nazywamy całkowitym nad $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian unormowany $f\in P[x]$ taki, że $f(a)=0.$

Zbiór wszystkich elementów całkowitych pierścienia $R$ nad $P$ oznaczamy $C_R(P).$

Liczbę algebraiczną nazywamy liczbą algebraiczną całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita nad $\mathbb{Z}.$

Liczby algebraiczne całkowite

Jeśli $d\ne 1$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to

$C_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}(\mathbb{Z})=\{\begin{array}{c}\mathbb{Z}[\sqrt{d}],d\equiv 2(\mathrm{mod}4)\vee d\equiv 3(\mathrm{mod}4)\\ \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}],d\equiv 1(\mathrm{mod}4)\end{array}.$