Ekstensor

Ekstensor – przestrzeń metryczna X spełniająca warunek:

${\mathrm{\forall }}_Y{\mathrm{\forall }}_{B\subset Y,B-domk.}{\mathrm{\forall }}_{f:B\to X}{\mathrm{\exists }}_{g:Y\to X}g{|}_B=f.$

Słownie: $X$ ma własność przedłużania odwozorowań. Dokładniej: każde odwzorowanie ciągłe o wartościach w $X,$ które jest zadane na domkniętym podzbiorze pewnej przestrzeni metrycznej, można przedłużyć na całą przestrzeń. Fakt, że przestrzeń $X$ jest ekstensorem, będziemy zapisywać jako $X\in ES.$

Uwaga: rozpatrujemy ekstensory w kategorii przestrzeni metrycznych (rozumianej tu jako podkategoria kategorii Top przestrzeni topologicznych z przekształceniami ciągłymi).

Uwaga: ES(metr) = AR(metr), tzn. klasa ekstensorów metrycznych pokrywa się z klasą absolutnych retraktów metrycznych wprowadzonych przez K. Borsuka.

Twierdzenie Zachodzą następujące warunki:

a) $X\in ES\wedge Z\approx X$ (homeomorfizm) $\Rightarrow Z\in ES,$

b} $X\in ES\wedge A-retrakt$ (retrakt) $X\Rightarrow A\in ES,$

c) $X_1,X_2\in ES\Rightarrow X_1\times X_2\in ES.$

Przykłady

1. (pozytywny) Podzbiór wypukły $W$ przestrzeni unormowanej $E$ jest ekstensorem.

Uzasadnienie: Weźmy dowolną przestrzeń $Y,$ jej podzbiór domknięty $B$ oraz przekształcenie $f:B\to W.$

Na mocy twierdzenia Dugundji (uogólnienia twierdzenia Tietzego na przypadek przestrzeni unormowanej zamiast euklidesowej w przeciwdziedzinie) dla $f$ istnieje przedłużenie $g:Y\to E$ o tej własności, że $g(Y)\subset convf(B)\subset convW=W.$ Zadając $f_1:Y\to W$ wzorem $f_1(y)=g(y)$ (zawężamy dziedzinę), uzyskujemy szukane przedłużenie.

2. (negatywny) Przestrzeń $ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$ nie jest ekstensorem.

Uzasadnienie: Przyjmijmy $Y=ℝ,B=\{0,1\}$ – podzbiór domknięty $Y$ i weźmy $f:\{0,1\}\to ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$ dane jako $f(0)=-3,f(1)=3.$ Funkcji tej nie da się przedłużyć do $g:ℝ\to ℝ\mathrm{\setminus }\{0\},$ gdyż przedłużenie musiałoby mieć własność Darboux, a w szczególności zajść by musiało $0\in (-3,3)0\in g(ℝ)\subset ℝ\mathrm{\setminus }\{0\},$ co jest niemożliwe.

Bibliografia

• J. Dugundji, A. Granas, Fixed Point Theory.
• L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków.