Dekompozycja Kalmana

Dekompozycja Kalmana – termin używany w teorii sterowania na określenie konwersji realizacji stacjonarnego liniowego układu regulacji do postaci, w której układ ujawnia części obserwowalną i sterowalną co pozwala na wyciągnięcie wniosków odnośnie do osiągalnych i obserwowalnych podprzestrzeni dla danego układu.

Notacja

Wyprowadzenie przebiega tak samo zarówno dla (stacjonarnych) układów czasu ciągłego, jak i układów dyskretnych. Niech dany będzie liniowy, stacjonarny układ ciągły opisany równaniami stanu:

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),$

$y(t)=Cx(t)+Du(t).$

Układ taki można opisać za pomocą krotki czterech macierzy $(A,B,C,D).$ Niech rząd systemu wynosi $n.$ Wówczas dekompozycja Kalmana zdefiniowana jest jako transformacja krotki $(A,B,C,D)$ do postaci $(\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D})$ w następujący sposób:

$\hat{A}=T^{-1}AT,$

$\hat{B}=T^{-1}B,$

$\hat{C}=CT,$

$\hat{D}=D.$

$T$ jest macierzą odwrotną o rozmiarach $n\times n$ zdefiniowaną jako:

$T=\left[\begin{array}{cccc}{T}_{r\bar{o}}& T_{ro}& T_{\overline{ro}}& T_{\bar{r}o}\end{array}\right],$

gdzie:

$T_{r\bar{o}}$ – macierz, której kolumny rozpięte są w podprzestrzeni stanów, które są zarówno osiągalne, jak i nieobserwowalne;

$T_{ro}$ – jest tak dobrana, że kolumny $\left[\begin{array}{cc}{T}_{r\bar{o}}& T_{ro}\end{array}\right]$ stanowią bazę dla podprzestrzeni osiągalnej;

$T_{\overline{ro}}$ – jest tak dobrana, że kolumny $\left[\begin{array}{cc}{T}_{r\bar{o}}& T_{\overline{ro}}\end{array}\right]$ stanowią bazę dla podprzestrzeni nieobserwowalnej;

$T_{\bar{r}o}$ – jest tak dobrana, że macierz $\left[\begin{array}{cccc}{T}_{r\bar{o}}& T_{ro}& T_{\overline{ro}}& T_{\bar{r}o}\end{array}\right]$ jest odwrotna.

Można zauważyć, że niektóre z tych macierzy mogą mieć wymiar równy zero. Na przykład jeśli system jest zarówno obserwowalny, jak i sterowalny, wówczas $T=T_{ro},$ co sprawia, że inne macierze mają wymiar zerowy.

Forma standardowa

Korzystając z wyników dla sterowalności i obserwowalności, można pokazać, że układ po transformacji $(\hat{A},\hat{B},\hat{C},\hat{D})$ ma macierze o następującej postaci:

$\hat{A}=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{r\bar{o}}& A_{12}& A_{13}& A_{14}\\ 0& A_{ro}& 0& A_{24}\\ 0& 0& A_{\overline{ro}}& A_{34}\\ 0& 0& 0& A_{\bar{r}o}\end{array}\right]$

$\hat{B}=\left[\begin{array}{c}{B}_{r\bar{o}}\\ B_{ro}\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

$\hat{C}=\left[\begin{array}{cccc}0& C_{ro}& 0& C_{\bar{r}o}\end{array}\right]$

$\hat{D}=D$

Prowadzi to do wniosku, że:

• Podukład $(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)$ jest zarówno osiągalny, jak i obserwowalny.
• Podukład $(\left[\begin{array}{cc}{A}_{r\bar{o}}& A_{12}\\ 0& A_{ro}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{B}_{r\bar{o}}\\ B_{ro}\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0& C_{ro}\end{array}\right],D)$ jest osiągalny.
• Podukład $(\left[\begin{array}{cc}{A}_{ro}& A_{24}\\ 0& A_{\bar{r}o}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{B}_{ro}\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}{C}_{ro}& C_{\bar{r}o}\end{array}\right],D)$ jest obserwowalny.

Zobacz też

• układ regulacji stałowartościowej