Obserwowalność

Obserwowalność – własność układu sterowania mówiąca, czy na podstawie odczytu sygnału sterującego oraz odczytu sygnału wyjściowego możliwe jest określenie wewnętrznego stanu obiektu. Znajomość tego stanu jest ważna na przykład w przypadku stosowania algorytmu estymacji minimalnokwadratowej.

Obserwowalność odnosi się do możliwości przeprowadzenia obserwacji (mierząc wielkości na wyjściach układu). Jeśli stan układu nie jest obserwowalny, to regulator nigdy nie będzie w stanie określić zachowania takiego stanu i dlatego nie można go wykorzystać do stabilizacji układu. Jednakże podobnie jak w przypadku warunków stabilizowalności (dla sterowalności), jeśli stan wewnętrzny nie jest obserwowalny, to jednak może być wykrywalny.

Jeśli układ jest obserwowalny to jest i wykrywalny. Dla układu wykrywalnego możliwe jest skonstruowanie obserwatora Luenbergera.

Definicja 1

Układ jest obserwowalny, jeżeli przy dowolnym sterowaniu można określić wartości wszystkich zmiennych stanu w chwili $t_0$ na podstawie znajomości sterowania $u(t_0,t)$ i odpowiedzi $y(t_0,t).$

Definicja 2

Stan początkowy $x_0\in R^n$ liniowego, dyskretnego układu regulacji nazywany jest obserwowalnym w $q$ krokach, jeżeli na podstawie danego ciągu wymuszeń $\{u_0,u_1,\dots ,u_{q-1}\}$ i danego ciągu odpowiedzi $\{y_0,y_1,\dots ,y_{q-1}\}$ można wyznaczyć jednoznacznie stan początkowy $x_0$ tego układu.

Liniowy, dyskretny układ regulacji nazywany jest obserwowalnym, jeżeli istnieje liczba naturalna $q,$ taka że na podstawie danego ciągu wymuszeń $\{u_0,u_1,\dots ,u_{q-1}\}$ i danego ciągu odpowiedzi $\{y_0,y_1,\dots ,y_{q-1}\}$ można wyznaczyć jednoznacznie każdy stan początkowy $x_0\in R^n$ tego układu.

Definicja 3

Układ jest obserwowalny jeśli każdy stan układu jest odróżnialny od stanu $0.$

$\mathrm{\exists }t$ $C{e}^{At}x\ne 0.$

Aby określić czy układ jest obserwowalny należy wyznaczyć macierz Kalmana postaci

$𝒪=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ C{A}^2\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right],$

a następnie sprawdzić czy jej rząd jest pełny, tzn. czy

$rank(𝒪)=n,$

gdzie $n$ to wymiar macierzy stanu $A.$

Obserwowalność można także stwierdzić po sprawdzeniu sterowalności układu dualnego.

Zobacz też

• dekompozycja Kalmana
• obserwator stanu
• odtwarzalność
• stabilizowalność
• sterowalność
• wykrywalność