Całki Fresnela

Całki Fresnela

Całka Fresnela – dwie funkcje specjalne $S(x)$ i $C(x),$ zwane odpowiednio sinusem i cosinusem Fresnela, zdefiniowane następująco:

$S(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!},$

$C(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$

Należy zauważyć, że istnieje też inna definicja, w której powyższe całki są mnożone przez czynnik $\sqrt{\frac{\pi }{2}}.$

Nazwa tych funkcji została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego fizyka i inżyniera Augustina Jeana Fresnela.

Całki te pojawiły się w związku z optycznym efektem dyfrakcji Fresnela.

Wybrane własności

Funkcje $C(x)$ i $S(x)$ dla $x$ rzeczywistego są funkcjami nieparzystymi.

Związek z funkcją błędu:

$C(z)+iS(z)=\sqrt{\frac{\pi }{8}}(1+i)\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(\frac{(1-i)z}{2}\right).$

Wartości graniczne dla $x$ rzeczywistego:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }C(x)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(x)=\sqrt{\frac{\pi }{8}},$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }C(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }S(x)=-\sqrt{\frac{\pi }{8}}.$

Klotoida

Szablon:Osobny artykuł Klotoida znana także jako spirala Cornu lub spirala Eulera, to krzywa powstająca przez narysowanie wykresu parametrycznego funkcji $S(t)$ względem $C(t).$ Ponieważ $t$ jest miarą długości łukowej tejże spirali, zatem spirala ta ma nieskończoną długość. Klotoida znalazła też zastosowanie przy projektowaniu szos.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę