Całka Volkenborna

W analizie p-adycznej, całka Volkenborna jest narzędziem stosowanym do całkowania funkcji określonych na zbiorze liczb p-adycznych.

Definicja

Niech $f:{\mathbb{Z}}_p\to {ℂ}_p$ będzie lokalnie analityczną funkcją z ${\mathbb{Z}}_p,$ pierścienia całkowitych liczb p-adycznych, w ${ℂ}_p,$ uzupełnienie algebraicznego domknięcia ${\mathbb{Q}}_p,$ ciała ułamków tego pierścienia. Oznacza to, że dla każdego punktu $x\in {\mathbb{Z}}_p$ istnieje otoczenie, w którym funkcja $f$ rozwija się w zbieżny szereg potęgowy. Całka Volkenborna jest wtedy określona przez

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{p^n}\sum _{x=0}^{p^n-1}f(x).$

Historia

Na przestrzeni ciągłych funkcji ${\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$ nie istnieje niezmiennicza na przesunięcia forma liniowa. Pomysł, by całkować funkcje p-adycznych mieli już F. Thomas oraz F. Bruhat. Definicja ich całki okazała się być jednak zbyt ograniczona dla celów analizy oraz teorii liczb.

Arnt Volkenborn rozwinął w swojej pracy dyplomowej na Uniwersytecie Kolońskim w 1971 roku uogólnioną całkę p-adyczną, która później została nazwana jego imieniem. Wszystkie lokalnie analityczne funkcje, włączając w to szeregi Laurenta, są całkowalne. Całka ta znalazła zastosowanie przy obliczaniu tak zwanych uogólnionych p-liczb Bernoulliego i innych p-adycznych funkcji.

Własności

Z równości

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x+m)\mathrm{d}x=\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(x)\mathrm{d}x+\sum _{x=0}^{m-1}{f}^{\prime }(x)$

wynika, że całka nie jest niezmiennicza na przesunięcia.

Jeżeli $P^t=p^t{\mathbb{Z}}_p,$ to

$\underset{P^t}{\int }f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{p^t}\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }f(p^{t}x)\mathrm{d}x.$

Przykłady

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{x}^k\mathrm{d}x=B_k,$ k-ta liczba Bernoulliego.

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})\mathrm{d}x=\frac{(-1{)}^k}{k+1}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }(1+a{)}^x\mathrm{d}x=\frac{\log (1+a)}{a}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{e}^{ax}\mathrm{d}x=\frac{a}{e^a-1}$

$\underset{{\mathbb{Z}}_p}{\int }{\log }_p(x+u)\mathrm{d}u={\psi }_p(x),$   gdzie ${\psi }_p$ to p-adyczna funkcja digamma.

Bibliografia

• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen I. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 7, Nr. 4, 1972, Szablon:ISSN, s. 341–373. pdf
• Arnt Volkenborn: Ein p-adisches Integral und seine Anwendungen II. In: Manuscripta Mathematica. Bd. 12, Nr. 1, 1974, Szablon:ISSN, s. 17–46. pdf
• Alain M. Robert: A Course on p-adic Analysis (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 198). Springer, New York u. a. 2000, Szablon:ISBN, s. 263–279.
• Min-Soo Kim, Jin-Woo Son: Analytic Properties of the q-Volkenborn Integral on the Ring of p-Adic Integers. In: Bulletin of the Korean Mathematical Society. Bd. 44, Nr. 1, 2007, Szablon:ISSN, S. 1–12, online.