Algorytm całkowania wstecznego

Szablon:Algorytm infobox Algorytm całkowania wstecznego – sposób na sterowanie manipulatorem elastycznym.

Model

Model manipulatora zapisany jest jako:

$M_1{q}_1^{{\text{'}}^{\prime }}+C{q}_1^{\text{'}}+D_1+K(q_1-q_2)=0,$

$I{q}_2^{{\text{'}}^{\prime }}+K(q_2-q_1)=u.$

Nowe współrzędne

Tak jak w algorytmie linearyzacji statycznej wprowadza się nowe współrzędne:

$x_1=q_1,$

$x_2=q_1^{\text{'}},$

$x_3=q_2,$

$x_4=q_2^{\text{'}},$

ale dodaje się także współrzędne związane z trajektorią:

$x_{1d}=q_{1d},$

$x_{2d}=q_{1d}^{\text{'}},$

$x_{3d}=q_{2d},$

$x_{4d}=q_{2d}^{\text{'}}.$

Wpierw przekształca się model manipulatora tak, aby wyodrębnić $q_2,$ a następnie przedstawia go w postaci zawierającej współrzędne zadane:

$M_1{q}_{1d}^{{\text{'}}^{\prime }}+C{q}_{1d}^{\text{'}}+D_1+K{q}_{1d}=K{q}_{2d},$

$q_{2d}=K^{-1}{M}_1{q}_{1d}^{{\text{'}}^{\prime }}+K^{-1}C{q}_{1d}^{\text{'}}+K^{-1}{D}_1+q_{1d}.$

Na koniec wyznacza się wzory na błąd oraz prędkość błędu:

$x_i-x_{id}=e_i,$

gdzie $i=1,2,3,4.$

$e_1^{\text{'}}=e_2,$

$e_2^{\text{'}}=F_4(e_1,e_2,t)+F_2(e_1,t)e_3,$

$e_3^{\text{'}}=e_4,$

$e_4^{\text{'}}=F_5(e_1,e_3,t)+I^{-1}u.$

Sterowanie

Z powyższego wynika, że steruje się błędami, a nie wartością położeń. Jest to najbardziej kłopotliwa część tego algorytmu. Wykonuje się ją w czterech krokach; poniżej przedstawiony jest tylko pierwszy krok oraz rozwiązania poszczególnych kroków.

Układ traktuje się jako strukturę kaskadową, dlatego też obliczenia zaczyna się od pierwszego błędu:

$e_1^{\text{'}}=e_2.$

Aby błąd malał do zera wymagane jest spełnienie warunku $e_1^{\text{'}}<0.$ Z tego powodu najlepszym rozwiązaniem jest:

$e_1^{\text{'}}=-R_0{e}_1,$

gdzie $R_0>0.$

Następnie konstruuje się funkcję Lapunowa:

$V_1(e_1)=\frac{1}{2}{e}_1^T{e}_1$

i wyznacza się jej pochodną:

$V_1^{\text{'}}(e_1)=-e_1^T{R}_0{e}_1,$

co oznacza, że pochodna będzie mniejsza lub równa zero. W ten sposób uzyskuje się globalną eksponencjalną stabilność.

W kroku drugim rozpatrywane jest pierwsze oraz drugie równanie:

$e_1^{\text{'}}=e_2,$

$e_2^{\text{'}}=F_4+F_2{e}_3.$

Od tego kroku konstruowane będą jedynie funkcje Lapunowa w postaci sumy poprzedniej funkcji oraz nowej formy kwadratowej.

$V_2(e_1,e_2)=V_1(e_1)+\frac{1}{2}(e_2+R_0{e}_1{)}^T(e_2+R_0{e}_1).$

Uzyskuje się wzór na trzeci błąd:

$e_3=F_2^{-1}(-R_1{e}_2-R_1{R}_0{e}_1-F_4-R_0{e}_2)=-H(e_1,e_2,t).$

W kroku trzecim wyznaczany jest wzór na $e_4:$

$e_4=-R_2(e_3+H)-H^{\prime }=-H_2.$

W kroku czwartym i ostatnim poszukiwane sterowanie:

$u=-I{F}_5-I{H}_2^{\text{'}}-I{R}_3(e_4+H_2).$

Wystarczy rozwinąć wzór do pełnej postaci i otrzymuje się przepis na sterowanie manipulatorem elastycznym. Dowód na stabilność rozwiązania opiera się na lemacie Barbalata.

Zobacz też

• algorytm linearyzacji statycznej

Bibliografia

• K. Tchoń, A. Mazur, I. Dulęba, R. Hossa, R. Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000, Szablon:ISBN.