Algebra dyskowa

Algebra dyskowa – w analizie funkcjonalnej i zespolonej zbiór funkcji holomorficznych (zwykle oznaczany $A\left(𝔻\right)$)

$f:𝔻\to ℂ,$

gdzie $𝔻$ jest otwartym kołem jednostkowym $(z\in 𝔻\iff |z|<1)$ w płaszczyźnie zespolonej $ℂ,$ a $f$ przedłuża się do funkcji ciągłej na domknięciu tego okręgu $\overline{𝔻}$Szablon:Odn. Inaczej mówiąc,

$A(𝔻)=H^{\mathrm{\infty }}(𝔻)\cap C(\overline{𝔻}),$

gdzie $H^{\mathrm{\infty }}\left(𝔻\right)$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ograniczonych, analitycznych na kole jednostkowym $𝔻$ (tzw. przestrzeń Hardy’ego). Innymi słowy jest to przestrzeń funkcji holomorficznych na otwartym kole jednostkowym i ciągłych na domkniętym kole jednostkowymSzablon:Odn. Jeśli dodatkowo wyposażymy tę przestrzeń w punktowe dodawanie dane wzorem $(f+g)(z)=f(z)+g(z)$ oraz mnożenie $\left(fg\right)(z)=f(z)g(z),$ przestrzeń ta staje się algebrą nad $ℂ,$ ponieważ jest zamknięta na dodawanie i mnożenie.

Definiując na algebrze dyskowej normę supremum:

$\Vert f\Vert =\sup \{|f(z)|\mid z\in 𝔻\}=\max \{|f(z)|\mid z\in \overline{𝔻}\},$

tak skonstruowana algebra jest przemienną algebrą Banacha będącą algebrą jednostajnąSzablon:Odn.

Z konstrukcji algebry dyskowej wynika, że jest ona domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego $H^{\mathrm{\infty }}\left(𝔻\right),$ wystarczy bowiem zauważyć, że $A\left(𝔻\right)\subseteq H^{\mathrm{\infty }}\left(𝔻\right)$ oraz jest to przestrzeń domknięta (bo jest przestrzenią Banacha), więc tym samym z zamkniętości na dodawanie i mnożenie jest domkniętą podalgebrą przestrzeni Hardy’ego.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę