Aksjomat podzbiorów

Aksjomat podzbiorów, aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-FraenklaSzablon:R. Wprowadzony do pierwszej aksjomatyki teorii mnogości przez Zermela w roku 1908. W pierwotnej postaci wzbudzał wiele kontrowersji; współczesna postać pochodzi od Skolema.

Aksjomat stwierdza:

Dla danego predykatu P z jedną zmienną, niezawierającego symbolu B:

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\exists }B\mathrm{\forall }z:z\in B⟺z\in A\wedge P(z).$

Czyli każde wskazanie elementów dowolnego zbioru A formułą P jest pewnym zbiorem (zawartym w A).

W istocie nie jest on jednym aksjomatem, lecz schematem aksjomatów, tzn. mamy do czynienia z nieskończonym zbiorem aksjomatów. Każdej formule odpowiada osobny aksjomat.

Zależność od pozostałych aksjomatów

Zdefiniujmy predykat funkcyjny $F:$

$F(x):=\{\begin{array}{cc}\{x\},& \text{gdy }P(x),\\ \varnothing ,& \text{gdy }\mathrm{\neg }P(x).\end{array}$

Aksjomat pary potwierdza istnienie zbioru $\{x,x\}=\{x\},$ natomiast zbiór $\varnothing$ wynika wprost z aksjomatu zbioru pustego, co dowodzi słuszności definicji predykatu. Zgodnie z aksjomatem zastępowania każdy predykat funkcyjny posiada swój obraz, co dowodzi istnienia rodziny zbiorów $F[A],$ z czego mocą aksjomatu sumy wynika istnienie zbioru $B.$

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].