Aksjomat zbioru pustego

Aksjomat zbioru pustego – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla, zakładający istnienie zbioru pustego.

Istnieje zbiór taki, że żaden element do niego nie należy. Można to zapisać zdaniem logicznym:

$\mathrm{\exists }X\mathrm{\forall }y(y\notin X).$

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość – jest to zbiór pusty $\varnothing .$

Wraz z aksjomatem nieskończoności zaliczany jest do absolutnych pewników istnienia – postuluje on bowiem istnienie pewnego obiektu matematycznego (w tym wypadku zbioru pustego) bez żadnych dodatkowych założeń, w przeciwieństwie do większości aksjomatów Zermelo-Frenkla, uzależniających istnienie nowych obiektów od pewnych obiektów już istniejącychSzablon:Odn.

Aksjomat zbioru pustego zazwyczaj wymienia się wśród aksjomatów Zermela-Fraenkla. Można go jednak bez szkody dla teorii pominąć, bowiem wynika on z aksjomatu nieskończoności – aksjomat nieskończoności gwarantuje istnienie zbioru, którego jednym z elementów jest właśnie zbiór pusty.

Jeśli język teorii mnogości jest uzupełniony o symbol zbioru pustego $\varnothing$ jako zbioru $a$ zdefiniowanego przez warunek $\mathrm{\forall }b\mathrm{\neg }(b\in a),$ to aksjomat nieskończoności gwarantujący istnienie zbioru $X$ zawiera frazę $\varnothing \in X,$ w przeciwnym razie trzeba ją zastąpić przez frazę $\mathrm{\exists }a(a\in X\wedge \mathrm{\forall }b\mathrm{\neg }(b\in a)).$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj

Literatura dodatkowa

• Szablon:Cytuj książkę