Średnia całkowa

Średnia całkowa – średnia wartość funkcji w przedziale będąca uogólnieniem średniej arytmetycznej.

Niech funkcja $f$ jest całkowalna w przedziale $[a,b]$ i ograniczona $m⩽f(x)⩽M.$

Wówczas średnią całkową funkcji $f$ w przedziale $[a,b]$ definiuje się jako

$\mu =\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

lub ogólniej

$\mu =\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}dx},.$

Opierając się na twierdzeniu o wartości średniej, otrzymuje się $m⩽\mu ⩽M.$ Jeśli o funkcji $f$ dodatkowo założyć, że jest ciągła, to średnia $\mu$ jest osiągana dla pewnego punktu $\xi \in [a,b],$ tzn. $\mu =f(\xi ).$

W przypadku dyskretnym pojęcie średniej całkowej redukuje się do zwykłej średniej arytmetycznej (dyskretnej).

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę