Ścisła addytywność miar wektorowych

Szablon:Spis treści Ścisła addytywność – własność miar wektorowych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Definicja

Niech $ℱ$ będzie ciałem podzbiorów zbioru $M$ oraz $E$ będzie przestrzenią Banacha i niech $\nu :ℱ\to E$ będzie miarą wektorową. Mówimy, że $\nu$ jest ściśle addytywna, gdy dla każdego ciągu $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z ciała $ℱ$ szereg $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\nu (A_n)$ jest zbieżny według normy.

Mówimy, że rodzina $\{{\nu }_t:ℱ\to E:t\in T\}$ ściśle addytywnych miar wektorowych jest jednostajnie ściśle addytywna, gdy dla każdego ciągu $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ zbiorów parami rozłącznych z ciała $ℱ$ granica $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert \sum _{m=n}^{\mathrm{\infty }}{\nu }_t(A_m)\Vert =0$ jednostajnie dla każdego $t\in T.$

Własności

• Miara wektorowa o skończonym wahaniu jest ściśle addytywna.
• Ściśle addytywna miara wektorowa, określona na ciele zbiorów, jest ograniczona.
• Jeśli $\{{\nu }_t:ℱ\to E:t\in T\}$ jest rodziną miar wektorowych, wtedy następujące warunki są równoważne:

1. $\{{\nu }_t:t\in T\}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.
2. $\{x^{\star }{\nu }_t:t\in T{x}^{\star }\in E^{\star },\Vert x^{\star }\Vert ⩽1\}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.
3. Jeśli $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych z ciała $ℱ,$ wtedy $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert {\nu }_t(A_n)\Vert =0$ jednostajnie dla każdego $t\in T.$
4. Jeśli $(A_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ jest ciągiem zbiorów parami rozłącznych z ciała $ℱ,$ wtedy $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert {\nu }_t\Vert (A_n)=0$ jednostajnie dla każdego $t\in T.$
5. $\{|x^{\star }{\nu }_t|:t\in T{x}^{\star }\in E^{\star },\Vert x^{\star }\Vert ⩽1\}$ jest rodziną jednostajnie ściśle addytywną.

Zobacz też

• addytywność
• miara