Podziały metaliczne

Szablon:Grafika rozwinięta Podziały metaliczne to dodatnie pierwiastki równania kwadratowego

$M(n{)}_{\pm }^2-nM(n{)}_{\pm }-1=0$.

Plik:Silver ratio.png

Prostokąt definiujący srebrny podział.

Każdy prostokąt zawiera w sobie co najmniej jeden kwadrat o krawędzi $h$ równej krótszej krawędzi prostokąta. Jeżeli prostokąt zawiera $n$ takich kwadratów a mniejszy prostokąt ma te same proporcje, co można zapisać zależnością jego krawędzi $nh+d$ oraz $h$

$M(n)\doteq \frac{nh+d}{h}=\frac{h}{d}$,

spełniają one podział metaliczny; złoty podział dla $n=1$, srebrny podział dla $n=2$, brązowy podział dla $n=3$ i tak dalej. Rozwiązanie tej relacji z uwagi na $n$ prowadzi do powyższego równania kwadratowego, którego pierwiastki to

$M(n{)}_{\pm }=\frac{n\pm \sqrt{n^2+4}}{2}$,

Ponieważ zakłada się, że krawędzie prostokąta definiującego to liczby nieujemne, zwykle rozważane są jedynie dodatnie pierwiastki $M(n{)}_{+}$ tego równania.

Własności

Podziały metaliczne mają ciekawe własności. Na przykład

1. $M(n{)}_{-}M(n{)}_{+}=-1$,
2. $M(n{)}_{-}+M(n{)}_{+}=n$,
3. $-M(-n{)}_{-}=M(n{)}_{+}$, lub
4. $M(n{)}_{\pm }=\pm e^{\text{arcsinh}(\pm n/2)}$.

Gdy $n$ zmierza do nieskończoności, czynnik $+4$ w pierwiastku zanika i $M(n{)}_{\pm }\to \{n,0\}$ dla dużych $n$.

Ponadto

$M(n{)}_{\pm }^k=A_{k}M(n{)}_{\pm }+A_{k-1}$,

gdzie współczynniki $A_k$ są definiowane rekurencyjnie przez $A_0\doteq 0$, $A_1\doteq 1$ oraz $A_k=n{A}_{k-1}+A_{k-2}$.

Dowód Widzimy, że zależność ta jest prawdziwa dla $k=1$. Definicja rekurencji implikuje $A_2=n$.

Mnożąc równanie definiujące przez $M(n{)}_{\pm }^{k-2}$ mamy

$M(n{)}_{\pm }^k-nM(n{)}_{\pm }^{k-1}-M(n{)}_{\pm }^{k-2}=0$.

Stąd

$\begin{array}{cccc}M(n{)}_{\pm }^k& =nM(n{)}_{\pm }^{k-1}+M(n{)}_{\pm }^{k-2}=& & \text{(równanie definiujące)}\\ & =n(A_{k-1}M(n{)}_{\pm }+A_{k-2})+(A_{k-2}M(n{)}_{\pm }+A_{k-3})=& & \text{(hipoteza rekurencyjna)}\\ & =(n{A}_{k-1}+A_{k-2})M(n{)}_{\pm }+(n{A}_{k-2}+A_{k-3})=\\ & =A_{k}M(n{)}_{\pm }+A_{k-1}\end{array}$.

Ponadto dla wymiernych $n\notin \{0,\pm 2\}$ podziały metaliczne definiowane są przez trójki pitagorejskie.

Kąty metaliczne

Plik:Golden angle in radians.png

Złoty kąt

Koncepcję podziałów metalicznych można rozszerzyć na kąty metaliczne jako

$\frac{n(2\pi -\phi )+\phi }{2\pi -\phi }=\frac{2\pi -\phi }{\phi }$,

co dla $n=1$ sprowadza się do złotego kąta $\phi (1{)}_{-}\approx 2,399963$ (137,507764°). Rozwiązanie powyższej relacji z uwagi na $\phi$ prowadzi do równania kwadratowego

$n\phi (n{)}_{\pm }^2-2\pi (n+2)\phi (n{)}_{\pm }+4{\pi }^2=0$,

którego pierwiastki to

$\frac{\phi (n{)}_{\pm }}{\pi }=\frac{n+2\pm \sqrt{n^2+4}}{n}$.

W porównaniu do podziałów metalicznych, zarówno iloczyny

$\frac{\phi (n{)}_{-}\phi (n{)}_{+}}{{\pi }^2}=\frac{4}{n}$,

jak i sumy kątów metalicznych

$\frac{\phi (n{)}_{-}+\phi (n{)}_{+}}{\pi }=2\frac{n+2}{n}$,

są zależne od $n$, przy czym $\underset{n\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (n{)}_{-}\phi (n{)}_{+}=0$ a $\underset{n\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (n{)}_{-}+\phi (n{)}_{+}=2\pi$.

Zobacz też

• ciąg Fibonacciego
• złoty podział
• srebrny podział
• złota funkcja
• złoty kąt