Wielomiany Bernoulliego

Wielomiany Bernoulliego

Wielomiany Bernoulliego, nazwane na cześć Jakoba Bernoulliego, łączą w sobie liczby Bernoulliego i symbol Newtona. Są używane przy rozszerzaniu funkcji w nieskończone szeregi, a także we wzorze Eulera-Maclaurina.

Te wielomiany występują w badaniach wielu funkcji specjalnych, a szczególnie w rozważaniach nad funkcją dzeta Riemanna oraz funkcją dzeta Hurwitza. Wielomiany te stanowią ciąg Appella (np. ciąg Sheffera dla zwykłego operatora pochodnej). Liczba przecięć wielomianów Bernoulliego z osią odciętych w przedziale jednostkowym jest niezmienna niezależnie od stopnia wielomianu. Dla wysokich stopni wielomianów Bernoulliego granica jest zbliżona w przybliżeniu do funkcji sinus i cosinus.

Podobnym zbiorem wielomianów są wielomiany Eulera.

Postaci

Wielomiany Bernoulliego $B_n$ mogą zostać zdefiniowane za pomocą funkcji tworzącej. Mają również znaczną ilość innych postaci.

Funkcje tworzące

Funkcja tworząca dla wielomianów Bernoulliego prezentuje się następująco:

$\frac{t{e}^{xt}}{e^t-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{B}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Odpowiednikiem tego wzoru dla wielomianów Eulera jest

$\frac{2e^{xt}}{e^t+1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n(x)\frac{t^n}{n!}.$

Postać jawna

$B_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_{n-k}{x}^k,$

$E_m(x)=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{E_k}{2^k}{(x-\frac{1}{2})}^{m-k},$

dla $n⩾0,$ gdzie $B_k$ są liczbami Bernoulliego, a $E_k$ – liczbami Eulera.

Postać oparta na operatorze pochodnej

Wielomiany Bernoulliego mogą zostać opisane wzorem:

$B_n(x)=\frac{D}{e^D-1}{x}^n,$

gdzie $D=\frac{d}{dx}$ jest operatorem pochodnej po $x.$ Powyższy ułamek może zostać rozszerzony do szeregu potęg formalnych. Wynika z tego, że

$\underset{a}{\overset{x}{\int }}{B}_n(u)du=\frac{B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}.$

Używając operatora pochodnej, można również zapisać wielomiany Eulera w podobny sposób.

$E_n(x)=\frac{2}{e^D+1}{x}^n.$

Postać oparta na operatorze całkowym

Wielomiany Bernoulliego są również unikalnym zbiorem wielomianów determinowanym równaniem

$\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}{B}_n(u)du=x^n.$

Używając transformacji całkowej zdefiniowanej jako

$(Tf)(x)=\underset{x}{\overset{x+1}{\int }}f(u)du$

na wielomianach $f,$ można stwierdzić, że

$(Tf)(x)=\frac{e^D-1}{D}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{D^n}{(n+1)!}f(x)=f(x)+\frac{f^{\prime }(x)}{2}+\frac{f^{″}(x)}{6}+\frac{f^{‴}(x)}{24}+\dots$

Postać jawna dana za pomocą funkcji dzeta Hurwitza

Wiedząc, że wielomiany Bernoulliego w postaci jawnej dane są jako

$B_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m$

można zauważyć podobieństwo tego wzoru do funkcji dzeta Hurwitza, a co za tym idzie, zapisać powyższy wzór za jej pomocą.

$B_n(x)=-n\zeta (1-n,x).$

Powyższy zapis rozszerza pojęcie wielomianów Bernoulliego o niecałkowite wartości liczby $n.$

Postać jawna w rachunku różnicowym

Wiedząc, że wielomiany Bernoulliego w postaci jawnej dane są jako

$B_m(x)=\sum _{n=0}^m\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m.$

Używając rachunku różnicowego, można zapisać jedną z sum w sposób następujący:

${\mathrm{\Delta }}^n{x}^m=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(x+k{)}^m.$

Wiedząc, że $\mathrm{\Delta }=e^D-1$ gdzie $D=\frac{d}{dx},$ używając szeregu Merkatora, można zapisać:

$\frac{D}{e^D-1}=\frac{\ln (\mathrm{\Delta }+1)}{\mathrm{\Delta }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-\mathrm{\Delta }{)}^n}{n+1}.$

Zobacz też

• liczby Bernoulliego

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (1972) Dover, New York. (Rozdział 23.)
• Tom M. Apostol (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, Szablon:ISBN, MR 0434929. (Rozdział 12.11)
• Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski (1995), New formulae for the Bernoulli and Euler polynomials at rational arguments, Proceedings of the American Mathematical Society, 123 (5): 1527–1535
• Jesus Guillera; Jonathan Sondow (2008), Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent, The Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT/0506319. doi:10.1007/s11139-007-9102-0
• Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory, Cambridge tracts in advanced mathematics, Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. pp. 495–519. Szablon:ISBN.