Elastyczność substytucji

Elastyczność substytucji – elastyczność stosunku dwóch nakładów czynników funkcji produkcji (lub użyteczności) w odniesieniu do stosunku ich produktów (lub użyteczności) krańcowych. Na rynku konkurencyjnym mierzy ona procentową zmianę stosunku dwóch czynników w reakcji na procentową zmianę ich cen. Mierzy również krzywiznę izokwanty, a tym samym substytucyjność czynników (lub dóbr).

Historia pojęcia

John Hicks zaproponował pojęcie elastyczności substytucji w 1932 roku. Joan Robinson odkryła ją niezależnie, za pomocą równoważnej z pomysłem Hicksa formuły matematycznej. Ekwiwalencja pomiędzy obiema propozycjami nie została początkowo rozpoznana.

Definicja

Ogólną definicję elastyczności X pod względem Y stanowi $E_Y^X=\frac{\mathrm{\%}\text{zmiana X}}{\mathrm{\%}\text{zmiana Y}},$ co można sprowadzić do $E_Y^X=\frac{dX}{dY}\frac{Y}{X}$ dla nieskończenie małych zmian i różniczkowalnych zmiennych.

Elastyczność substytucji jest zmianą, jaka zachodzi we wzajemnym stosunku zużycia dwóch dóbr do zmiany w relacji ich krańcowych wartości lub cen. Najpowszechniej wykorzystywana jest do opisania stosunku kapitału (K) i pracy (L) w relacji do stosunku ich produktów krańcowych $M{P}_K$ i $M{P}_L,$ lub stopy procentowej (r) i płacy (w). Inne zastosowanie odnosi się do stosunku konsumpcji dóbr 1 i 2 w relacji do stosunku ich krańcowych użyteczności lub cen.

Przykład z wykorzystaniem konsumpcji.
Niech zależność użyteczności od konsumpcji będzie reprezentowana przez $U(c_1,c_2),$ wtedy $U_{c_i}=dU(c_1,c_2)/d{c}_i.$ W takim przypadku elastyczność substytucji wynosi:

$E_{21}=\frac{d\ln (c_2/c_1)}{d\ln (MR{S}_{12})}=\frac{d\ln (c_2/c_1)}{d\ln (U_{c_1}/U_{c_2})}=\frac{\frac{d(c_2/c_1)}{c_2/c_1}}{\frac{d(U_{c_1}/U_{c_2})}{U_{c_1}/U_{c_2}}}=\frac{\frac{d(c_2/c_1)}{c_2/c_1}}{\frac{d(p_1/p_2)}{p_1/p_2}},$

gdzie $MRS$ to krańcowa stopa substytucji.

Ostatnia równość przedstawia $MR{S}_{12}=p_1/p_2,$ co jest relacją z warunku pierwszego rzędu dla maksymalizacji problemu konsumenta w równowadze wewnętrznej Arrow-Debreu. Relatywny wybór dóbr konsumpcyjnych przez konsumenta zmienia się, gdy ulegają zmianie relatywne ceny.

Zauważmy również, że $E_{21}=E_{12}:$

$E_{21}=\frac{d\ln (c_2/c_1)}{d\ln (U_{c_1}/U_{c_2})}=\frac{d(-\ln (c_2/c_1))}{d(-\ln (U_{c_1}/U_{c_2}))}=\frac{d\ln (c_1/c_2)}{d\ln (U_{c_2}/U_{c_1})}=E_{12}.$

Równoważną charakterystyką elastyczności substytucji jest:

$E_{21}=\frac{d\ln (c_2/c_1)}{d\ln (MR{S}_{12})}=-\frac{d\ln (c_2/c_1)}{d\ln (MR{S}_{21})}=-\frac{d\ln (c_2/c_1)}{d\ln (U_{c_2}/U_{c_1})}=-\frac{\frac{d(c_2/c_1)}{c_2/c_1}}{\frac{d(U_{c_2}/U_{c_1})}{U_{c_2}/U_{c_1}}}=-\frac{\frac{d(c_2/c_1)}{c_2/c_1}}{\frac{d(p_2/p_1)}{p_2/p_1}}.$

W modelach międzyokresowych elastyczność substytucji konsumpcji w okresach $t$ i $t+1$ znana jest jako elastyczność międzyokresowej substytucji.

Podobnie, jeśli funkcją produkcji jest $f(x_1,x_2),$ to elastyczność substytucji przedstawiana się następująco:

${\sigma }_{21}=\frac{d\ln (x_2/x_1)}{d\ln MRT{S}_{12}}=\frac{d\ln (x_2/x_1)}{d\ln (\frac{df}{d{x}_1}/\frac{df}{d{x}_2})}=\frac{\frac{d(x_2/x_1)}{x_2/x_1}}{\frac{d(\frac{df}{d{x}_1}/\frac{df}{d{x}_2})}{\frac{df}{d{x}_1}/\frac{df}{d{x}_2}}}=-\frac{\frac{d(x_2/x_1)}{x_2/x_1}}{\frac{d(\frac{df}{d{x}_2}/\frac{df}{d{x}_1})}{\frac{df}{d{x}_2}/\frac{df}{d{x}_1}}},$

gdzie $MRTS$ oznacza krańcową stopę technicznej substytucji.

Odwrotnością elastyczności substytucji jest elastyczność komplementarności.

Przykład

Rozważmy funkcję produkcji Cobba-Douglasa $f(x_1,x_2)=x_1^a{x}_2^{1-a}.$

Krańcowa stopa technicznej substytucji wygląda w tym przypadku następująco:

$MRT{S}_{12}=\frac{a}{1-a}\frac{x_2}{x_1}.$

Dogodniej jednak jest zamienić notację, oznaczając:

$\frac{a}{1-a}\frac{x_2}{x_1}=\theta .$

Przekształcenie powyższej formuły daje:

$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1-a}{a}\theta .$

Elastyczność substytucji wynosi wtedy:

${\sigma }_{21}=\frac{d\ln \left(\frac{x_2}{x_1}\right)}{d\ln MRT{S}_{12}}=\frac{d\ln \left(\frac{x_2}{x_1}\right)}{d\ln \left(\frac{a}{1-a}\frac{x_2}{x_1}\right)}=\frac{d\ln \left(\frac{1-a}{a}\theta \right)}{d\ln (\theta )}=\frac{d\frac{1-a}{a}\theta }{d\theta }\frac{\theta }{\frac{1-a}{a}\theta }=1.$

Tego typu funkcja Cobba-Douglasa posiada zatem stałą, jednostkową elastyczność substytucji niezależnie od parametru alfa.

Interpretacja ekonomiczna

Biorąc pod uwagę pierwotną alokację/kombinację i konkretną substytucję tejże alokacji/kombinacji, stwierdzamy, iż im większa jest elastyczność substytucji, tym większa jest możliwość substytucji w danej alokacji/kombinacji.

Elastyczność substytucji pokazuje również w jaki sposób relatywne wydatki na dobra lub nakład czynników zmieniają się, gdy ich relatywne ceny ulegają zmianie.

Niech $S_{21}$ oznacza wydatki na $c_2$ względem wydatków na $c_1.$

$S_{21}\equiv \frac{p_2{c}_2}{p_1{c}_1}.$

Gdy relatywne ceny $p_2/p_1$ ulegają zmianie, relatywne wydatki zmieniają się według:

$\frac{d{S}_{21}}{d(p_2/p_1)}=\frac{c_2}{c_1}+\frac{p_2}{p_1}\cdot \frac{d(c_2/c_1)}{d(p_2/p_1)}=\frac{c_2}{c_1}[1+\frac{d(c_2/c_1)}{d(p_2/p_1)}\cdot \frac{p_2/p_1}{c_2/c_1}]=\frac{c_2}{c_1}(1-E_{21}).$

Dlatego też określenie, czy wzrost relatywnej ceny $c_2$ prowadzi do zwiększenia lub spadku w relatywnych wydatkach na $c_2$ zależy od tego, czy elastyczność substytucji jest większa czy mniejsza od 1.

Bezpośrednim efektem wzrostu relatywnej ceny $c_2$ jest wzrost wydatków na $c_2,$ ponieważ dana ilość $c_2$ jest droższa. Z drugiej strony, przy założeniu że dobra w przedstawionym problemie nie są dobrami Giffena, wzrost w relatywnej cenie $c_2$ prowadzi do spadku w relatywnej ilości kupowanego $c_2,$ co z kolei powoduje spadek wydatków na $c_2.$

Wartość elastyczności substytucji decyduje o wystąpieniu jednego z tych zjawisk. Jeśli wynosi ona mniej niż 1, ma miejsce pierwsza z przedstawionych reakcji: relatywny popyt na $c_2$ spada, ale proporcjonalnie mniej niż wzrost relatywnej ceny $c_2,$ dlatego relatywne wydatki na $c_2$ rosną. W tym przypadku dobra są dobrami komplementarnymi.

Z drugiej strony, gdy elastyczność substytucji jest większa niż 1 występuje druga reakcja: zmniejszenie relatywnej ilości nabywanego $c_2$ przewyższa wzrost jego relatywnej ceny, a w konsekwencji relatywne wydatki na $c_2$ spadają. W takim przypadku dobra są dobrami substytucyjnymi.

Gdy elastyczność substytucji wynosi dokładnie 1 (tak jak w przypadku Cobba-Douglasa), relatywne wydatki na $c_2$ względem wydatków na $c_1$ są niezależne od relatywnych cen.

Zobacz też

• funkcja produkcji CES
• krańcowa stopa technicznej substytucji

Bibliografia

• Hicks, J.R. (1932). The Theory of Wages. Macmillan. Pierwszy raz zdefiniowana w tej pozycji.
• Mas-Colell, Andreu; Whinston; Green (2007). Microeconomic Theory. New York, NY: Oxford University Press. Szablon:ISBN.
• Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (3rd ed.). W.W. Norton & Company. Szablon:ISBN.
• Klump, Rainer; McAdam, Peter; Willman, Alpo (2007). „Factor Substitution and Factor-Augmenting Technical Progress in the United States: A Normalized Supply-Side System Approach”. Review of Economics and Statistics. 89 (1): 183–192. doi:10.1162/rest.89.1.183.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Cytuj stronę, Gonçalo L. Fonsekca, essay, The New School for Social Research.