Krzywa Jordana
Szablon:Spis treści Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnieSzablon:Odn. Funkcjonuje też nieco słabsza definicja:
- Odwzorowanie ciągłe przedziału w płaszczyznę nazywa się krzywą na płaszczyźnie. Jeśli to tę krzywą nazywa się zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale nazywana jest ona krzywą Jordana.
W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiemSzablon:Odn.
Twierdzenia
Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.
- Twierdzenie o krzywej Jordana
- Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiemSzablon:Odn.
Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych w żadnym punkcie niegładkich jest to zadanie trudne. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.
- Twierdzenie Jordana-Schönfliesa
- Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrągSzablon:Odn.
- Twierdzenie Jordana-Brouwera
- Każda -wymiarowa sfera zanurzona w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszarySzablon:Odn.
Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.
Zobacz też
- łuk zwykły (łuk Jordana)
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Grant Sanderson, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem), 3blue1brown, YouTube, [dostęp 2021-03-15] – materiał o problemie prostokątów wpisanych w krzywe Jordana.