Przecięcie prostej ze sferą

Trzy możliwe przypadki:
1) Brak przecięcia,
2) Przecięcie w jednym punkcie,
3) Przecięcie w dwóch punktach.

W geometrii analitycznej prosta i sfera mogą mieć część wspólną w dokładnie jednym punkcie, dwóch punktach bądź wcale. Metody rozróżniania tych przypadków i ustalania punktów przecięcia są używane jako algorytm wykonywany wielokrotnie podczas operacji śledzenia promieni.

Obliczanie z użyciem wektorów

W zapisie wektorowym równania wyglądają w następujący sposób:

Równanie sfery:

$\Vert 𝐱-𝐜{\Vert }^2=r^2,$

gdzie:

$𝐜$ – środek,

$r$ – promień,

$𝐱$ – punkty na sferze.

Równanie prostej zaczynającej się w $𝐨:$

$𝐱=𝐨+d𝐥,$

gdzie:

$d$ – parametr odległości wzdłuż prostej od punktu początkowego,

$𝐥$ – kierunek prostej (wektor jednostkowy),

$𝐨$ – punkt początkowy,

$𝐱$ – punkty na prostej.

Szukając punktów wspólnych, należy połączyć ze sobą równania i rozwiązać dla $d:$

Równania po podstawieniu

$\Vert 𝐨+d𝐥-𝐜{\Vert }^2=r^2\iff (𝐨+d𝐥-𝐜)\cdot (𝐨+d𝐥-𝐜)=r^2.$

Rozszerzając

$d^2(𝐥\cdot 𝐥)+2d(𝐥\cdot (𝐨-𝐜))+(𝐨-𝐜)\cdot (𝐨-𝐜)=r^2.$

Po przestawieniu

$d^2(𝐥\cdot 𝐥)+2d(𝐥\cdot (𝐨-𝐜))+(𝐨-𝐜)\cdot (𝐨-𝐜)-r^2=0.$

Otrzymuje się równanie kwadratowe

$a{d}^2+bd+c=0,$

gdzie:

$a=𝐥\cdot 𝐥=\Vert 𝐥{\Vert }^2,$

$b=2(𝐥\cdot (𝐨-𝐜)),$

$c=(𝐨-𝐜)\cdot (𝐨-𝐜)-r^2=\Vert 𝐨-𝐜{\Vert }^2-r^2.$

Upraszczając

$d=\frac{-2(𝐥\cdot (𝐨-𝐜))\pm \sqrt{(2{(𝐥\cdot (𝐨-𝐜)))}^2-4\Vert 𝐥{\Vert }^2(\Vert 𝐨-𝐜{\Vert }^2-r^2)}}{2\Vert 𝐥{\Vert }^2}$

$𝐥$ jest wektorem jednostkowym, a $\Vert 𝐥{\Vert }^2=1.$ W związku z tym równanie można uprościć do

$d=-(𝐥\cdot (𝐨-𝐜))\pm \sqrt{(𝐥\cdot (𝐨-𝐜){)}^2-\Vert 𝐨-𝐜{\Vert }^2+r^2}.$

• Jeśli wartość pod pierwiastkiem $((𝐥\cdot (𝐨-𝐜){)}^2-\Vert 𝐨-𝐜{\Vert }^2+r^2)$ jest mniejsza niż zero, rozwiązanie nie istnieje i prosta nie przecina sfery (przypadek 1).
• Jeśli jest to zero, istnieje jedno rozwiązanie i prosta przecina sferę w jednym punkcie (przypadek 2).
• Jeśli jest większa niż zero, istnieją dwa rozwiązania i prosta przecina sferę w dwóch punktach (przypadek 3).

Zobacz też

• geometria analityczna

Bibliografia

• David H. Eberly (2006), 3D game engine design: a practical approach to real-time computer graphics, 2nd edition, Morgan Kaufmann. Szablon:ISBN.