Miara dodatnio określonych operatorów

Miara dodatnio określonych operatorów – miara wprowadzona w analizie funkcjonalnej i teorii pomiaru mechaniki kwantowej (z ang. positive-operator valued measure – POVM); jej wartościami są dodatnio określone operatory samosprzężone, działające na przestrzeni Hilberta; całka z tych operatorów jest operatorem identycznościowym.

Typowo proces pomiaru opisuje się w mechanice kwantowej za pomocą operatora rzutowego (ang. projection-valued measure – PVM) działającego na funkcję falową układu. Czasami jednak fizyczna przestrzeń Hilberta jest tak ograniczona, że nie da się przypisać operatora rzutowego do pomiarów – można jednak proces pomiaru opisać za pomocą mniej restrykcyjnej miary POVM, której operatory są „niepełnymi” operatorami rzutowymi, tj. o dziedzinie i zbiorze wartości ograniczonymi do dostępnej przestrzeni Hilberta. Za pomocą tej miary formułuje się więc najogólniejszą sytuację pomiarową. POVM używa się np. w informatyce kwantowej.

W grubej analogii, POVM ma się tak do PVM jak macierz gęstości do stanu czystego. Nawet jeśli cały układ jest w stanie czystym, to macierze gęstości są niezbędne do opisu stanu jego podukładu.

Analogicznie, jeżeli fizyczna przestrzeń Hilberta jest z jakiś względów ograniczona tak że jest podprzestrzenią przestrzeni, w której pomiar można opisać jako wynik operacji rzutowej POV, to pomiar na tej przestrzeni Hilberta opisuje miara POVM.

Historycznie, używano nazwy miara, której wartościami są operatory prawdopodobieństwa (ang. probability-operator measure – POM), ale jest teraz rzadko stosowana.

W kwantowej teorii pola pomiary rzutowe nie mają konkretnej definicji i prowadzą do wielu sprzeczności, można jednak wprowadzić ich generalizację.

Przykłady konieczności użycia miary POVM

Fermion Diraca

Typowym przykładem jest pojedyncza cząstka Diraca, czyli fermion o spinie 1/2 opisywany równaniem Diraca (por. Dürr i inni (2004))Szablon:R: operator położenia działający na $L^2({ℝ}^3,{ℂ}^4)$ indukuje naturalną miarę rzutową POV $P_0(\cdot )$ dla każdego zbioru mierzalnego (borelowskiego) $B\subseteq {ℝ}^3,$ $P_0(B)$ jest rzutem na przestrzeń funkcji, które zerują się na zewnątrz zbioru, $P_0(B)\mathrm{\Psi }(q)={\mathrm{𝟏}}_B(q)\mathrm{\Psi }(q),$ gdzie $1_B(q)$ – indykator funkcji na zbiorze $B.$ W ten sposób otrzymuje się $⟨\mathrm{\Psi }|P_0(dq)|\mathrm{\Psi }⟩=|\mathrm{\Psi }(q){|}^{2}dq.$

Jeżeli jednak jako fizyczną przestrzeń Hilberta przejmie się podprzestrzeń zawierającą tylko stany o dodatnich energiach, to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki musi być zadane przez operator $P(\cdot )=P_{+}{P}_0(\cdot )I,$ gdzie $P_{+}:L^2({ℝ}^3,{ℂ}^4)\to ℍ$ jest operatorem rzutowym, zaś $I:ℍ\to L^2({ℝ}^3,{ℂ}^4)$ – odwzorowanie inkluzji.

Ponieważ $P_{+}$ nie komutuje z większością operatorów $P_0(B),$ to $P(\cdot )$ nie jest operatorem rzutowym, ale ogólniejszą miarą POVM i w konsekwencji nie ma odniesienia do żadnego operatora rzutowego. Jednakże pozostaje nadal słuszne dla funkcji $\mathrm{\Psi }$ należącej do podprzestrzeni $ℍ$ z dodatnio określoną energią, że $⟨\mathrm{\Psi }|P(dq)|\mathrm{\Psi }⟩=|\mathrm{\Psi }(q){|}^{2}dq.$

Z tego względu w kwantowej teorii pola obserwabla położenia jest częściej typu POVM niż POV.

Fotony

Miary typu POVM są np. istotne dla fotonów. W jednym z podejść funkcja falowa pojedynczego fotonu $\mathrm{\Psi }:{ℝ}^3\to {ℂ}^3$ poddana jest warunkom ograniczającym

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\Psi }={\partial }_x{\mathrm{\Psi }}_x+{\partial }_y{\mathrm{\Psi }}_y+{\partial }_z{\mathrm{\Psi }}_z=0.$

Fizyczna przestrzeń Hilberta $ℍ$ fotonu zawiera więc tylko funkcje falowe, które spełniają to dodatkowe ograniczenie i z tej racji przestrzeń Hilberta fotonu jest podprzestrzenią ogólniejszej przestrzeni $L^2({ℝ}^3,{ℂ}^3)$ w jakiej można przedstawiać stany pojedynczych cząstek o liczbie spinowej s=1, a naturalna miara rzutowa PVM na $L^2({ℝ}^3,{ℂ}^3)$ przechodzi w POVM na $ℍ.$

Operatory POVM a operatory rzutowe

Z każdym wynikiem pomiaru jest związany pewien dodatnio określony samosprzężony operator $F(z)$ taki, że jeśli na układzie w stanie $\mathrm{\Psi }(|\mathrm{\Psi }|=1)$ jest wykonywany pomiar, to rozkład prawdopodobieństwa pomiaru $Z$ jest dany wyrażeniem

$P\mathrm{\Psi }(Z=z)=⟨\mathrm{\Psi }|F(z)|\mathrm{\Psi }⟩$

dla każdego $z.$

Z takich operatorów pomiaru można utworzyć „observables”: operatory dają rozkłady prawdopodobieństw wielkości mierzonej $Z$ będące funkcją $\mathrm{\Psi }.$ Operatory $F(z)$ zsumowane dają operator jednostkowy $I,$ $\sum F(z)=I.$

Gdy $z$ są liczbami rzeczywistymi, a $F(z)$ są operatorami rzutowymi, to operator POVM $F(\cdot )$ może być wyrażony przez operator samosprzężony

$A\sum F(z)$

– jest to de facto rozkład spektralny operatora $A$ tak, że $z$ są wartościami własnymi $A,$ a $F(z)$ jest operatorem rzutowym na podprzestrzeń odpowiadającą tej wartości. To tłumaczy, dlaczego operatory samosprzężone reprezentują wielkości mierzone w wielu przypadkach.

Bibliografia

• L.I. Schiff, Quantum Mechanics (3rd ed.), McGraw-Hill, 1968.
• A. Chefles, Quantum State Discrimination, Contemp. Phys. 41, 401 (2000), https://arxiv.org/abs/quant-ph/0010114v1.
• J.A. Bergou, U. Herzog, M. Hillery, Discrimination of Quantum States, Lect. Notes Phys. 649, s. 417–465 (2004).
• Detlef Dürr, Sheldon Goldstein, Roderich Tumulka, Nino Zanghì, Bell-type Quantum Field Theories, 2004.