Kryterium Bertranda

Kryterium

o wyrazach dodatnich. Niech

B_{n} = (n \cdot (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) - 1) \cdot \ln n .

Wówczas

\underset{n \to \infty}{lim inf} B_{n} > 1;

\underset{n \to \infty}{lim sup} B_{n} < 1

Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg $(B_{n})$ jest zbieżny do pewnego $B,$ to

W przypadku, gdy $B = 0$ kryterium nie rozstrzyga.

c_{n} = n \cdot \ln n (n \in ℕ) .

Ponieważ szereg

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot \ln n}

jest rozbieżny (co wynika z zastosowania kryterium całkowego Szablon:Odn), kryterium Kummera się stosuje. W tym wypadku

\begin{matrix} K_{n} & = c_{n} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - c_{n + 1} = n \cdot \ln n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - (n + 1) \ln (n + 1) \\ = n \cdot \ln n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - n \ln (n + 1) - \ln (n + 1) \\ = n \cdot \ln n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - n (\ln (1 + \frac{1}{n}) + \ln n) - (\ln (1 + \frac{1}{n}) + \ln n) \\ = n \cdot \ln n \cdot \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - (n + 1) \ln (1 + \frac{1}{n}) - n \ln n - \ln n \\ = \ln n \cdot (n \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - n - 1) - \ln {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} \\ = \ln n \cdot (n (\frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - 1) - 1) - \ln {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} \\ = B_{n} - \ln {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1} . \end{matrix}

Ponieważ

\lim_{n \to \infty} \ln (1 + \frac{1}{n})^{n + 1} = 1,

teza kryterium Bertranda wynika wprost z zastosowania kryterium KummeraSzablon:Odn Szablon:Odn.