Kryterium porównawcze

Kryterium porównawcze – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych. Mówi ono, że szereg liczbowy o wyrazach nieujemnych majoryzowany przez zbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny. Przez zasadę kontrapozycji, twierdzenie to jest równoważne temu, że szereg o wyrazach nieujemnych majoryzujący rozbieżny szereg o wyrazach nieujemnych jest rozbieżny.

Kryterium

Niech

Szablon:Wzór

oraz

Szablon:Wzór

będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje takie $k,$ że dla wszelkich $n⩾k$ zachodzi nierówność

$a_n⩽b_n.$

Wówczas

1. jeżeli szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, to szereg Szablon:LinkWzór jest również zbieżny;
2. jeżeli szereg Szablon:LinkWzór jest rozbieżny, to szereg Szablon:LinkWzór jest również rozbieżnySzablon:Odn.

Dowód

Suma (tj. granica ciągu sum częściowych) szeregu o wyrazach nieujemnych zawsze istnieje – jest albo nieujemną liczbą rzeczywistą bądź wynosi $\mathrm{\infty }.$ Oznacza to, że stwierdzenia 1. i 2. są równoważne na mocy zasady kontrapozycji. Wystarczy zatem przeprowadzić dowód dla 1.

Załóżmy, że szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny oraz niech $B$ będzie (skończoną) sumą Szablon:LinkWzór. Skoro istnieje takie $k,$ że dla wszelkich $n⩾k$ zachodzi nierówność

$a_n⩽b_n,$

można założyć, że powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb naturalnych $n$ ponieważ skończenie wiele wyrazów szeregu liczbowego nie wpływa na jego zbieżnośćSzablon:Odn. W tym przypadku, dla każdej liczby naturalnej spełniona jest także nierówność

$0⩽\sum _{n=1}^k{a}_n⩽\sum _{n=1}^k{b}_n⩽B.$

Oznacza to, że ciąg

$S_k=\sum _{n=1}^k{a}_n$

jest ograniczony (przez $B$). Ciąg ten jest także niemalejący, istotnie

$S_{k+1}-S_k=\sum _{n=1}^{k+1}{a}_n-\sum _{n=1}^k{a}_n=a_{k+1}⩾0,$

tj. dla wszystkich $k$ zachodzi

$S_{k+1}⩾S_k.$

Każdy ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny, a więc szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdyż zbieżny jest jego ciąg sum częściowychSzablon:Odn.

Wersja graniczna

Pod założeniem, $a_n⩾0,b_n>0(n\in \mathbb{N}),$ jeżeli istnieje granica

$K=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n},$ gdzie $0⩽K⩽\mathrm{\infty },$

to

• gdy $K<\mathrm{\infty },$ to ze zbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór;
• gdy $K>0,$ to z rozbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika rozbieżność szeregu Szablon:LinkWzórSzablon:Odn.

W równoważnym sformułowaniu:

• gdy $0<K<\mathrm{\infty },$ oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne;
• gdy $K=0,$ to ze zbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór;
• gdy $K=\mathrm{\infty },$ to z rozbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika rozbieżność szeregu Szablon:LinkWzórSzablon:Odn.

Wersja ułamkowa

Pod założeniem, $a_n>0,b_n>0(n\in \mathbb{N}),$ jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

$\frac{a_{n+1}}{a_n}⩽\frac{b_{n+1}}{b_n},$

ze zbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika zbieżność szeregu Szablon:LinkWzór (a więc z rozbieżności szeregu Szablon:LinkWzór wynika rozbieżność szeregu Szablon:LinkWzór)Szablon:Odn.

Przykład zastosowania

Niech $b_n=1/2^n,$ tj. w tym przypadku szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżnym szeregiem geometrycznym. Niech

$a_n=\frac{(n!{)}^2}{(2n)!}.$

Szereg Szablon:LinkWzór jest zbieżny, gdyż

$\frac{(n!{)}^2}{(2n)!}=\frac{n!}{2^n(2n-1)!!}<\frac{1}{2^n}=b_n,$

tj. szereg Szablon:LinkWzór jest majoryzowany przez zbieżny szereg geometryczny Szablon:LinkWzórSzablon:Odn.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

Szablon:Otwarty dostęp Piotr Stachura, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:

• Kryterium porównawcze zbieżności szeregów, 26 stycznia 2016.
• Kryterium porównawcze zbieżności szeregów – przykład, 16 kwietnia 2016.
• Kryterium porównawcze zbieżności szeregów w wersji granicznej, 5 lipca 2016.
• Kryterium porównawcze w wersji granicznej – przykład, 7 kwietnia 2017.