Obwód rezonansowy LC

Obwód rezonansowy LC – obwód elektryczny składający się z cewki (L) i kondensatora (C). Obwód może działać jako rezonator elektryczny, jest wówczas elektrycznym odpowiednikiem nietłumionego układu drgań mechanicznych. Układ taki wyprowadzony z równowagi wykonuje drgania swobodne przenosząc energię elektromagnetyczną z częstotliwością rezonansową między cewką a kondensatorem. Pobudzany drganiami okresowymi zachowuje się jak układ drgań wymuszonych, w stanie równowagi wykonuje drgania z częstotliwością pobudzania i amplitudą silnie zależną od częstotliwości.

Obwody rezonansowe znajdują szerokie zastosowania w radiotechnice, dzięki faworyzowaniu wąskiego przedziału częstotliwości, są wykorzystywane do generowania sygnałów o określonej częstotliwości, albo do wybierania sygnału o określonej częstotliwości z bardziej złożonego sygnału; ta funkcja nazywa się filtrem pasmowym. Są kluczowymi komponentami wielu urządzeń elektronicznych, w szczególności sprzętu radiowego, stosowanych w układach takich jak oscylatory, filtry i mieszacze.

W rozważaniach teoretycznych jest wyidealizowanym przypadkiem obwodu elektrycznego RLC, ale bez tłumienia wnoszonego przez rezystancję (R). Rzeczywiste obwody zawsze zawierają element tłumiący.

W obwodzie tym pobudzanym przez drgania okresowe w stanie równowagi z drganiami pobudzającymi zachodzi rezonans prądów (w równoległym) lub napięć (w szeregowym).

W stanie rezonansu, prąd i napięcie na zacisku obwodu rezonansowego są zgodne w fazie, a wypadkowa moc bierna pobierana przez obwód jest równa zeru, dlatego reaktancje sinusoidalnie zmienne znoszą swoją wartość poprzez występujący prąd w obwodzie.

Animowany schemat obwodu LC

Drgania obwodu LC

Kondensator naładowany

Fazy oscylacji w obwodzie LC

W obwodzie elektrycznym składającym się z kondensatora i cewki indukcyjnej energia może być zgromadzona w kondensatorze i cewce:

$U=\frac{1}{2}L{i}^2+\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}.$

Całkowita energia obwodu będąca sumą obu energii jest stała. Uwzględniając związek między ładunkiem na kondensatorze a natężeniem prądu oraz zakładając, że kondensator w chwili $t=0$ jest naładowany, równanie na ładunek na kondensatorze można wyrazić:

$\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}q=0.$

Równanie to jest matematycznym odpowiednikiem równania drgań np. masy na sprężynie. Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością. Wzór określający częstotliwość drgań nazywa się wzorem Thomsona. Rozwiązanie równania oraz natężenie prądu można przedstawić jako:

$q(t)=q_m\cos (\omega t+\varphi ),$

$i(t)=-\omega q_m\sin (\omega t+\varphi ),$

$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}},$

$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}.$

Obwód LC wykonuje drgania swobodne z częstotliwością rezonansową określoną przez wzór Thomsona,

gdzie:

$q$ – ładunek na kondensatorze,

$L$ – indukcyjność cewki,

$C$ – pojemność kondensatora,

$q_m=\epsilon C$ – maksymalny ładunek na kondensatorze,

$\epsilon$ – różnica potencjałów między zaciskami źródła,

$L$ – indukcyjność cewki,

$C$ – pojemność kondensatora,

$\omega$ – częstość kołowa w radianach/sekundę,

$f$ – częstotliwość obwodu w hercach.

Kondensator nienaładowany

W tym przypadku równanie opisujące stan obwodu wygląda następująco:

$\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}q=\frac{\epsilon }{L}.$

Rozwiązanie równania oraz natężenie prądu można przedstawić jako:

$q(t)=q_m[1-\cos (\omega t+\varphi )],$

$i(t)=\omega q_m\sin (\omega t+\varphi ),$

$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}},$

$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}},$

gdzie:

$q$ – ładunek na kondensatorze,

$L$ – indukcyjność cewki,

$C$ – pojemność kondensatora,

$q_m=\epsilon C$ – maksymalny ładunek na kondensatorze,

$\epsilon$ – różnica potencjałów między zaciskami źródła,

$L$ – indukcyjność cewki,

$C$ – pojemność kondensatora,

$\omega$ – częstość kołowa w radianach/sekundę,

$f$ – częstotliwość obwodu w hercach.

Obwód LC w obwodach prądu przemiennego

Obwód elektryczny złożony z pojemności i indukcyjności może być elementem obwodu prądu przemiennego. Elementy te mogą być połączone szeregowo lub równolegle. W stanie ustalonym w obwodzie płynie prąd o częstotliwości równej częstotliwości pobudzania.

Rezonans napięć

Impedancja zastępcza Z obwodu szeregowego złożonego z cewki i kondensatora wynosi:

$Z=j{X}_L-j{X}_C=j(\omega L-\frac{1}{\omega C}),$

gdzie:

$j$ – jednostka urojona,

$X_L$ – reaktancja cewki (induktancja),

$X_C$ – reaktancja kondensatora (kapacytancja),

$Z$ – impedancja wypadkowa.

Impedancja szeregowego obwodu LC jest równa zero, gdy reaktancje cewki $X_L$ i kondensatora $X_C$ są sobie równe co do wartości bezwzględnej. Dla danej pojemności i indukcyjności warunek ten jest spełniony dla częstotliwości równej częstotliwości drgań swobodnych obwodu LC, częstotliwość ta nazywana jest częstotliwością rezonansową.

Gdy cewka i kondensator połączone są szeregowo i zasilane prądem przemiennym $I,$ to w elementach tych występuje spadek napięcia: $U_C$ na kondensatorze, a $U_L$ na cewce. Ponieważ przesunięcia faz napięcia względem prądu są w cewce i kondensatorze przeciwne, to napięcie wypadkowe jest różnicą napięć na cewce i kondensatorze, a w stanie rezonansu teoretycznie napięcia te zniosą się zupełnie. W szeregowym obwodzie rezonansowym dla częstotliwości rezonansowej, pomimo tego, że na obwodzie napięcie jest równe 0, to napięcie na cewce i na kondensatorze są różne od zera i mogą osiągać bardzo duże wartości.

Rezonans prądów

Rezonans prądów następuje wtedy, gdy susceptancja układu jest równa zero. Susceptancje poszczególnych gałęzi obwodu (susceptancja pojemnościowa i susceptancja indukcyjna) są sobie równe: $B_L=B_C.$

Gdy układ taki zasilany jest napięciem zmiennym $U,$ to popłyną przez elementy prądy: $I_C$ przez kondensator, a $I_L$ przez cewkę. Ponieważ prądy te mają przeciwne fazy, to znoszą się wzajemnie i sumaryczny prąd $I$ jest mniejszy od sumy prądów $I_C$ i $I_L.$ Dla pewnej częstotliwości, gdy prąd cewki równa się prądowi kondensatora prądy te zniosą się zupełnie i prąd $I$ będzie równy zeru – zachodzi rezonans prądów, a obwód rezonansowy przestaje pobierać prąd ze źródła – staje się przerwą w obwodzie, czyli ma nieskończenie dużą oporność (prądy w rzeczywistym kondensatorze i cewce nie są jednak równe zeru i mogą osiągać duże wartości).

Zobacz też

• dobroć

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę