Warunek brzegowy Dirichleta

Warunek brzegowy Dirichleta – typ warunku brzegowego, znany także jako warunek pierwszego rodzaju, używanym w teorii równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych. Polega on na założeniu, że funkcja będąca rozwiązaniem danego problemu musi przyjmować określone, z góry zadane wartości na brzegu dziedziny. Nazwa pochodzi od matematyka P. Dirichleta (1805–1859).

Jeżeli dla równania różniczkowego (zwyczajnego lub cząstkowego) stawiamy warunek brzegowy Dirichleta (na całym brzegu), to mówimy o zagadnieniu (problemie) Dirichleta.

Przykłady

Równania różniczkowe zwyczajne

Dla równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu:

$y^{″}=f(x,y,y^{\prime }),$

gdzie niewiadoma funkcja $y(x)$ jest określona na dziedzinie $[a,b],$ (formalnie: $y\in C^2([a,b])$), warunek brzegowy Dirichleta ma postać

$y(a)=y_a,y(b)=y_b,$

gdzie $y_a$ oraz $y_b$ są danymi liczbami.

Równania różniczkowe cząstkowe

Typowym przykładem jest zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a. Dany jest obszar $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n.$ Szukamy rozwiązania $u:\overline{\mathrm{\Omega }}\to ℝ,$ które jest ciągłe w domknięciu $\overline{\mathrm{\Omega }},$ klasy $C^2$ w $\mathrm{\Omega },$ spełnia równanie

$\mathrm{\Delta }u=0,$

gdzie $\mathrm{\Delta }$ oznacza operator Laplace’a (laplasjan) oraz warunek brzegowy

$u(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in \partial \mathrm{\Omega },$

gdzie $f$ jest daną funkcją określoną na brzegu, $f:\partial \mathrm{\Omega }\to ℝ.$

Zazwyczaj obie relacje (równanie i warunek brzegowy) zapisuje się w standardowej notacji matematycznej w jednym miejscu, często dodając klamry, aby podkreślić, że obie zależności muszą być spełnione:

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }u=0& \text{na}\mathrm{\Omega },\\ u=f& \text{w}\partial \mathrm{\Omega }.\end{array}$

Zastosowania

Warunki brzegowe pełnią ważną rolę w opisie zjawisk fizycznych. Wybór warunków zależy od sposobu prowadzenia doświadczenia i kontroli jego parametrów.

• Na przykład przy opisie zjawisk rozchodzenie się „ciepła” (ściślej należałoby mówić o transporcie energii wewnętrznej) przyjęcie warunku brzegowego Dirichleta oznacza, że kontrolujemy temperaturę na brzegu obiektu (jest on w kontakcie z rezerwuarem „ciepła” na tyle dużym, że jego temperatura jest stała, a brzeg na tyle dobrze przewodzi, że na nim jest ta sama temperatura).
• W elektrostatyce, gdzie często szukaną funkcją jest potencjał elektryczny $\varphi ,$ warunek Dirichleta oznacza taką sytuację doświadczalną, w której potencjały są zadane (np. na powierzchni przewodnika).
• W teorii sprężystości warunek Dirichleta oznacza jakie jest przemieszczenie na brzegu. Na przykład belka zamocowana na brzegu będzie miała ustaloną pozycję dla punktów brzegowych.
• W mechanice płynów często przyjmuje się, że na brzegu cząsteczki cieczy się nie poruszają (warunek no-slip). Dla cieczy lepkiej podczas przepływu, na powierzchni ciała stałego płyn ma zerową prędkość względem tego brzegu, $v_{\partial \mathrm{\Omega }}=0.$

Inne warunki brzegowe

Możliwe są inne warunki na brzegu, na przykład warunek brzegowy Cauche'ego (jest to raczej warunek początkowy, ale z punktu widzenia ogólnej teorii warunków brzegowych rozróżnienie na warunki początkowe i brzegowe jest tylko wygodną konwencją. Warunki początkowe są specjalnymi warunkami brzegowymi, ale w zagadnieniach, w których występuje czas) czy warunek brzegowy Neumanna.