Podjednorodna C*-algebra

Podjednorodna C*-algebra – C*-algebra, która jest izomorficzna z pod-C*-algebrą algebry

$M_n(C_0(\mathrm{\Omega }))=M_n\otimes C_0(\mathrm{\Omega }),$

dla pewnej liczby naturalnej $n$ i pewnej przestrzeni lokalnie zwartej $\mathrm{\Omega }$ (symbol $M_n$ oznacza algebrę zespolonych macierzy kwadratowych stopnia $n$). C*-algebry będące granicami odwrotnymi ciągów podjednorodnych C*-algebr nazywane są ASH-algebrami (ang. approximately subhomogenous algebras).

Własności

• Pod-C*-algebry algebr podjednorodnych są podjednorodne.
• Jeżeli $A$ jest podjednorodą C*-algebrą, to dla dowolnej liczby naturalnej $n$ algebra $M_n(A)$ jest podjednorodna.
• Wszystkie reprezentacje nieprzywiedlne podjednorodnych C*-algebr są skończenie wymiarowe.
• Jeżeli $A$ jest podjednorodą C*-algebrą, to algebra von Neumanna $A^{**}$ jest injektywna. W szczególności każda podjednorodna C*-algebra (i każda ASH-algebra) jest nuklearna.
• C*-algebra jest podjednorodna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalna $n$ o tej własności, że wymiar każdej reprezentacji nieprzywiedlnej tej algebry nie przekracza $n.$
• C*-algebra $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\oplus }}{M}_n$ nie jest podjednorodna, gdyż ma ona reprezentacje nieprzywiedlne o dowolnie dużym (skończonym) wymiarze.
• Jeżeli $0\to A\to E\to B\to 0$ jest krótkim ciągiem dokładnym C*-algebr, to $E$ jest podjednorodna wtedy i tylko wtedy, gdy $A$ i $B$ są podjednorodne.

Bibliografia

• M. Rørdam, Classification of nuclear simple C*-algebras”, Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras, Encyclopaedia Math. Sci., 126, Berlin, New York 2002, Springer-Verlag, s. 62–63.