Operator delta

Operator delta – pewien wariant operatora równoważny przekształceniu liniowemu $Q:𝕂[x]⟶𝕂[x]$ w przestrzeni wektorowej wielomianów ze zmienną $x,$ nad ciałem $𝕂,$ które redukuje stopnie o jeden.

Wstęp

Stwierdzenie, że $Q$ jest pewnym wariantem operatora równoważnego operatorowi przesunięcia znaczy, że jeśli $g(x)=f(x+a),$ to wówczas

$(Qg)(x)=(Qf)(x+a).$

Innymi słowy, jeśli $f$ jest „przesunięciem” $g,$ wówczas $Qf$ jest także przesunięciem $Qg,$ i ma taki sam „wektor przesunięcia” $a.$

Stwierdzenie, że operator redukuje stopień o jeden oznacza, że jeśli $f$ jest wielomianem stopnia $n,$ wówczas $Qf$ jest albo wielomianem stopnia $n-1$ albo, w przypadku $n=0,$ $Qf$ jest równy $0.$

Czasami operator delta jest definiowany jako wariant operatora równoważnego operatorowi przesunięcia w zmiennej $x,$ która przekształca $x$ do stałej niezerowej. Można pokazać, że taka charakterystyka, wyraźnie słabsza niż definicja dana powyżej, jest jej równoważna, jako że wariantowość operatora równoważnego operatorowi przesunięcia stanowi silny warunek.

Przykłady

• Operator różnicowy w przód

$(\mathrm{\Delta }f)(x)=f(x+1)-f(x)$

jest operatorem delta.

• Różniczkowanie względem $x,$ zapisywane jako $D,$ także jest operatorem delta.
• Każdy operator w formie

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{D}^k,$

gdzie ($D^n(f)=f^{(n)}$ jest n-tą pochodną) z $c_1\ne 0$ jest operatorem delta. Można wykazać, że wszystkie operatory delta można zapisać w tej formie. Na przykład operator różnicowy dany powyżej można rozwinąć do postaci:

$\mathrm{\Delta }=e^D-1=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{D^k}{k!}.$

• Uogólniona pochodna przestrzeni czasowej, która unifikuje operator różnicowy w przód z pochodną standardowego rachunku jest operatorem delta.
• W informatyce i cybernetyce termin dyskretnoczasowy operator delta $\delta$ zwykle oznacza operator różnicowy:

$(\delta f)(x)=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }t)-f(x)}{\mathrm{\Delta }t},$

aproksymację Eulera zwyczajnej pochodnej z dyskretnym czasem próbkowania $\mathrm{\Delta }t.$ Przy szybkim próbkowaniu sformułowanie oparte na operatorze delta posiada znaczącą ilość numerycznych zalet w porównaniu do operatora przesunięcia.

Operator delta w teorii sterowania

Posługując się zmienną płaszczyzny z $(z=e^{sT}),$ operator delta można wyrazić jako

$\delta =\frac{z-1}{T},$

co korzystając z jednokrokowego operatora przesunięcia, można też zapisać

$\delta =\frac{q-1}{\mathrm{\Delta }},$

gdzie $q$ to jednokrokowy operator przesunięcia określony zależnością $q{x}_k=x_{k+1},$ a $\mathrm{\Delta }$ oznacza okres próbkowania, stąd:

$\delta x_k=\frac{(q-1)x_k}{\mathrm{\Delta }}=\frac{x_{k+1}-x_k}{\mathrm{\Delta }}.$

Operator ten znany był na polu analiz numerycznych jako pierwszy dzielony operator różnicowy. Z powyższego widać, ze operator ten aproksymuje pochodną:

$\delta x_k\approx \frac{dx}{dt}{|}_{x=x(k\mathrm{\Delta })}$

i aproksymacja staje się coraz lepsza jak okres próbkowania zmierza do zera. Dlatego, z uwagi na to, że operator $\delta$ ma swój czasowy odpowiednik $\rho =\frac{d}{dt},$ modele wyrażone za pomocą operatora $\delta$ są bardzo podobne do modeli wyrażonych za pomocą operatora $\rho ,$ lub zmiennej s (transformaty Laplace’a). Z tego też względu korzystanie z operatora $\delta$ pozwala przy pracy z układami czasu dyskretnego na wykorzystanie wglądu i intuicji znanych z układów dziedziny czasu ciągłego.

Chociaż $\rho$ używa się do reprezentowania różniczkowania w dziedzinie czasu ciągłego, może też reprezentować operator $\delta .$ Każde sformułowanie uzyskane z wykorzystaniem wyrazeń $\rho$ może zostać zinterpretowane jako wyrażenia czasu dyskretnego poprzez zastąpienie $\rho$ przez $\delta :$

$\rho =\{\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}& \mathrm{\Delta }=0\\ \delta & \mathrm{\Delta }\ne 0\end{array}.$

Powyższa zależność definiuje tak zwaną pochodną uogólnioną. Podobnie można zdefiniować uogólnienie całki Riemanna. Istotnie występuje bliski związek pomiędzy wynikami sformułowanymi dla czasu ciągłego z wynikami formułowanymi dla czasu dyskretnego – używając operatora $\delta$ w dziedzinie czasu dyskretnego, można przyjąć dla niego $\mathrm{\Delta }=0$ co daje odpowiadające wyniki czasu ciągłego.

Dla operatora $\delta$ definiuje się też odpowiednik transformaty Fouriera dokonującej przekształcenia opisu do dziedziny częstotliwości jest to tzw. transformata $\mathrm{\Gamma }$ z nową zmienną $\gamma$ jako:

$F_{\mathrm{\Delta }}(\gamma )=F(z){|}_{z={\mathrm{\Delta }}_{\gamma +1}}=\sum _{k=0}^{k=\mathrm{\infty }}{f}_k(1+\mathrm{\Delta }\gamma {)}^{-k}.$

Operator delta posiada też szereg własności pozytywnie wpływających na obliczenia numeryczne. W wielu przypadkach parametryzacja algorytmów czasu dyskretnego za pomocą operatora $\delta$ daje lepsze efekty niż parametryzacja za pomocą jednokrokowego operatora przesunięcia $q.$ Dotyczy to w szczególności:

• przy filtracji cyfrowej: skutków skończonej długości słowa, wrażliwości odpowiedzi częstotliwościowej, efektów zaokrąglania,
• przy optymalnej estymacji stanu: warunkowania równań Riccatiego,
• estymacji parametrów metodą najmniejszych kwadratów: warunkowania macierzy kowariancji.

Operator $\delta$ ma duże znaczenie przy analizie (i syntezie) układów dyskretnych, gdyż jednokrokowy operator przesunięcia i transformata Z, które stanowią podstawę takich analiz są nieodpowiednie dla dużych częstotliwości próbkowania i nie mają odpowiedników czasu ciągłego.

Przy korzystaniu z operatora $\delta$ staje się jasne, że teoria układów czasu dyskretnego zbieżna jest łagodnie do teorii układów ciągłych wraz ze wzrostem częstotliwości próbkowania.

Bibliografia

• Brett M. Ninness, Graham C. Goodwin The Relationship Between Discrete Time and Continuous Time Linear Estimation, [w:] N.K. Sinha i G.P. Rao Identification of Continuous-Time Systems, 1991, Kluwer Academic Publishers, Szablon:ISBN.
• Richard H. Middleton, Graham C. Goodwin Digital Control and Estimation. A Unified Approach, 1990, Prentice-Hall International, Szablon:ISBN.