Przestrzeń czasowa

Przestrzeń czasowa – dowolny domknięty podzbiór liczb rzeczywistych $ℝ$ oznaczany $𝕋.$ Na przestrzeniach czasowych można rozważać równania Δ-różniczkowe, które są unifikacją równań różniczkowych na $ℝ$ i równań różnicowych na $\mathbb{Z},$ oraz uogólnieniem na przestrzeniach czasowych.

Funkcje skoku

Podstawowymi funkcjami opisującymi przestrzeń $𝕋$ są funkcje skoku:

$\sigma (t)=\inf \{s\in 𝕋:s>t\}$ funkcja następnika/funkcja skoku przedniego (forward jump operator),

$\rho (t)=\sup \{s\in 𝕋:s<t\}$ funkcja poprzednika/funkcja skoku wstecznego (backward jump operator),

$\mu (t)=\sigma (t)-t$ funkcja ziarnistości (graininess function).

Klasyfikacja punktów

Każdy punkt $t\in 𝕋$ ma charakteryzację poprzez funkcje skoku. Punkt $t$ jest:

• lewostronnie gęsty (left dense) jeżeli $\rho (t)=t,$
• prawostronnie gęsty (right dense) jeżeli $\sigma (t)=t,$
• lewostronnie izolowany (left scattered) jeżeli $\rho (t)<t,$
• prawostronnie izolowany (right scattered) jeżeli $\sigma (t)>t,$
• gęsty (dense) jeżeli jest jednocześnie lewo- i prawostronnie gęsty,
• izolowany (isolated) jeżeli jednocześnie lewo- i prawostronnie izolowany.

Δ-pochodna

Rozpatrzmy funkcję:

$f:𝕋\to ℝ,$

(R można również zastąpić dowolną przestrzenią Banacha).

Δ-pochodną funkcji $f$ w punkcie t nazwiemy liczbę $f^{\mathrm{\Delta }}(t)$ o własności:

${\mathrm{\forall }}_{\epsilon >0}{\mathrm{\exists }}_{\delta >0}{\mathrm{\forall }}_{s\in B(t,\delta )\cap 𝕋}|f(\sigma (t))-f(s)-f^{\mathrm{\Delta }}(t)(\sigma (t)-s)|⩽\epsilon |\sigma (t)-s|$

• jeżeli $t=\sigma (t)$ i funkcja $f$ jest ciągła w $t,$ to: $f^{\mathrm{\Delta }}(t)=\underset{s\to t}{\lim }\frac{f(t)-f(s)}{t-s},$
• jeżeli $t<\sigma (t)$ (i $f$ ciągła w $t$), to: $f^{\mathrm{\Delta }}(t)=\frac{f(\sigma (t))-f\left(t\right)}{\mu (t)}.$

Jeśli $f$ i $g$ są $\mathrm{\Delta }$ różniczkowalne w punkcie $t\in 𝕋,$ to:

• $(\alpha f+\beta g{)}^{\mathrm{\Delta }}(t)=\alpha f^{\mathrm{\Delta }}(t)+\beta g^{\mathrm{\Delta }}(t),$

• $(fg{)}^{\mathrm{\Delta }}(t)=f^{\mathrm{\Delta }}(t)g(\sigma (t))+f(t)g^{\mathrm{\Delta }}(t)=f^{\mathrm{\Delta }}(t)g(t)+f(\sigma (t))g^{\mathrm{\Delta }}(t),$

• jeżeli dodatkowo $g(t)g(\sigma (t))\ne 0$ to:

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\mathrm{\Delta }}(t)=\frac{f^{\mathrm{\Delta }}(t)g(t)-f(t)g^{\mathrm{\Delta }}(t)}{g(t)g(\sigma (t))}=\frac{f^{\mathrm{\Delta }}(t)g(\sigma (t))-f(\sigma (t))g^{\mathrm{\Delta }}(t)}{g(t)g(\sigma (t))}.$

Całkowanie

Rozpatrzmy funkcję:

$f:𝕋\to ℝ.$

Funkcją pierwotną funkcji $f$ nazwiemy funkcję $F:𝕋\to ℝ$ taką, że ${\mathrm{\forall }}_{t\in 𝕋}{F}^{\mathrm{\Delta }}(t)=f(t).$

Funkcję $f$ nazwiemy pg-ciągłą, jeżeli jest ciągła w punktach prawostronnie gęstych i istnieje skończona lewostronna granica w punktach lewostronnie gęstych.

Twierdzenie

Dla każdej funkcji pg-ciągłej istnieje jej funkcja pierwotna, na dodatek wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do stałej.

Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie całki dla funkcji pg-ciągłych:

$\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(x)\mathrm{\Delta }x:=F(t)-F(t_0).$

Własności całki:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\alpha f(t)+\beta g(t)\mathrm{\Delta }t=\alpha \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t+\beta \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)\mathrm{\Delta }t,$
• $\underset{t}{\overset{\sigma (t)}{\int }}f(\tau )\mathrm{\Delta }\tau =f(t)\mu (t),$
• $[a,b]\subset 𝕋\Rightarrow \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt,$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t,$
• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t,$
• $|f(t)|⩽g(t)\Rightarrow |\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)\mathrm{\Delta }t|⩽\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(t)dt.$

Podstawowe przykłady

Jeżeli za $𝕋$ przyjmiemy $ℝ,$ to: $\sigma (t)=t,\mu (t)=0,f^{\mathrm{\Delta }}(t)=f^{\prime }(t),\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(x)\mathrm{\Delta }x=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(x)dx.$

Jeżeli za $𝕋$ przyjmiemy $\mathbb{Z},$ to: $\sigma (t)=t+1,\mu (t)=1,f^{\mathrm{\Delta }}(t)=\mathrm{\Delta }f(t),\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(x)\mathrm{\Delta }x=\sum _{t_0}^{t-1}f(x).$

Zobacz też

• Szablon:Link-interwiki