Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej – podstawowe założenia mechaniki kwantowej, na podstawie których została opracowana cała teoria fizyczna i sformułowane ogólne prawa. Jako że mechaniki kwantowej, tak samo, jak i innych teorii fizycznych, nie można wyprowadzić ani udowodnić, jej sformułowanie matematyczne oparte jest na szeregu założeń, zwyczajowo nazywanych postulatami. Ostatecznie o ich poprawności świadczy jedynie zgodność z doświadczeniem.

I postulat

Stan układu kwantowomechanicznego jest opisany dzięki funkcji falowej $\psi (q_1,q_2,...,q_f,t).$ Jest to funkcja stanu zależna od współrzędnych uogólnionych i czasu, o f stopniach swobody.

Sama funkcja falowa nie ma sensu fizycznego. Sens fizyczny ma kwadrat modułu funkcji falowej pomnożony przez element objętości, który określa prawdopodobieństwo, że w chwili $t$ wartości współrzędnych są w przedziałach $q_1$ do $q_1+d{q}_1,...q_f$ do $q_f+d{q}_f:$

$|\psi (q_1,q_2,...q_f,t){|}^{2}d\tau =\rho (q_1,q_2,...q_f,t)d\tau ,$

gdzie element objętości odnosi się do przestrzeni f-wymiarowej. Ponieważ całkowite prawdopodobieństwo musi być równe jedności, funkcję falową wygodnie jest znormalizować jako:

$\int |\psi (q_1,q_2,...q_f,t){|}^{2}d\tau =1.$

Zatem jeżeli ρdτ określa prawdopodobieństwo, to ρ określa gęstość prawdopodobieństwa. Możliwość normalizacji funkcji falowej wynika z faktu, że jeśli $\psi$ jest rozwiązaniem równania falowego, to jest również nim $A\psi$ (gdzie $A$ to stała).

II postulat

Drugi postulat mówi o tym, że każdej zmiennej dynamicznej $A$ przyporządkowuje się pewien operator $\hat{\alpha }.$ Należy się do tego posłużyć pewnymi regułami:

• jeżeli zmienną jest współrzędna $q$ lub czas $t,$ to odpowiadającym operatorem jest ta sama zmienna $\hat{q}$ lub $\hat{t},$
• jeżeli zmienną jest pęd, to jego operatorem jest:

${\hat{p}}_i=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial q_i},$

• jeżeli zmienną jest inna wielkość niż wyżej wymienione, to operator należy wyrazić poprzez jedną z powyższych zmiennych, zastępując je odpowiednimi operatorami, np.: składowa z momentu pędu: ${\hat{M}}_z=\frac{\hslash }{i}(x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x}).$

Drugi postulat wprowadza również pojęcie komutatora, np.

${\hat{p}}_i{\hat{q}}_i-{\hat{q}}_i{\hat{p}}_i\equiv [{\hat{p}}_i{\hat{q}}_i]$

oraz hamiltonianu, czyli operatora energii całkowitej:

$\hat{H}=\hat{T}+\hat{V},$

gdzie $\hat{T}$ i $\hat{V}$ to operatory energii kinetycznej i potencjalnej.

III postulat

Trzeci postulat wprowadza podstawowe równanie mechaniki kwantowej – równanie Schrödingera zawierające czas:

$-\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial t}\psi =\hat{H}\psi .$

Jeśli znany jest operator Hamiltona, to można wyznaczyć funkcję falową $\psi (q_1,q_2,...,q_f,t).$

IV postulat

Jeśli $\psi$ oznacza funkcję własną, a $a_n$ wartość własną operatora $\alpha ,$ to:

$\hat{\alpha }{\psi }_n=a_n{\psi }_n.$

Takie twierdzenie ma kilka konsekwencji:

• Ponieważ pomiar zmiennych dynamicznych musi być liczbą rzeczywistą, to ich operatory muszą być hermitowskie.
• Jeśli operatory $\hat{\alpha }$ i $\hat{\beta }$ ze sobą komutują, to mają wspólną funkcję własną, natomiast jeśli są nieprzemienne, mają różne funkcje własne.
• Wynikiem pomiaru energii może być tylko wartość własna operatora Hamiltona:

$\hat{H}\psi (q_1,q_2,...q_f)=E\psi (q_1,q_2,...q_f).$

Powyższe równanie to równanie Schrödingera niezawierające czasu.

V postulat

Piąty postulat wprowadza wielkość zwaną wartością średnią, opisywaną wzorem (dla funkcji znormalizowanej):

$\bar{a}=\int {\psi }^{*}\hat{\alpha }\psi d\tau ,$

gdzie * oznacza sprzężenie zespolone.

W przypadku funkcji nieunormowanej:

$\bar{a}=\frac{\int {\psi }^{*}\hat{\alpha }\psi d\tau }{\int {\psi }^{*}\psi d\tau }.$

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę