Kwantowy rotator sztywny

Rotator sztywny – model w mechanice kwantowej, gdzie występuje układ dwóch cząstek, związanych ze sobą. Może on się obracać w przestrzeni, podczas gdy odległość pomiędzy cząstkami się nie zmienia.

Układ cząstek w rotatorze

Dla mechaniki kwantowej ruch translacyjny nie jest interesujący, zatem rozpatruje się tylko ruch cząstek w układzie środka mas. Dzięki temu można wprowadzić tzw. masę zredukowaną, w której energia kinetyczna ruchu dwóch cząstek o masach $m_1$ i $m_2$ równa się energii kinetycznej jednej cząstki o masie $\mu :$

$\frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2},$

gdzie:

$\mu$ – masa zredukowana,

$m_1,$ $m_2$ – masy składników.

Dla takiego układu równanie Schrödingera ma postać:

$[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2+\hat{V}]\psi =E\psi ,$

gdzie:

${\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\Delta }$ to laplasjan,

$\hslash$ – stała Diraca,

$\hat{V}$ – operator energii potencjalnej.

Rotator sztywny to typowy układ, gdzie występują więzy. Ruch musi być ograniczony do takiego, by nie naruszyć odległości pomiędzy cząstkami. Dobrze jest wówczas wprowadzić współrzędne sferyczne:

$x=x(r,\theta ,\varphi )=r\sin \theta \cos \varphi ,$

$y=y(r,\theta ,\varphi )=r\sin \theta \sin \varphi ,$

$z=z(r,\theta ,\varphi )=r\cos \theta .$

gdzie:

$r$ – długość wektora,

$\theta$ – kąt azymutalny,

$\varphi$ – kąt biegunowy.

Wówczas element objętości przyjmuje postać:

$\mathrm{d}\tau =r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi .$

We współrzędnych sferycznych operator Laplace’a ma postać:

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}),$

a operator Hamiltona ma postać:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2I}[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}],$

gdzie:

$I=\mu R^2$ – oznacza moment bezwładności.

Energia całkowita rotatora klasycznego jest równa energii kinetycznej. Oznaczając przez $Y$ jego funkcje własne, można napisać równanie Schrödingera:

$-\frac{{\hslash }^2}{2I}[\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2}]Y=EY.$

Można je zapisać również w postaci:

$\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\phi }^2}Y=\lambda Y,$

gdzie:

$\lambda =\frac{2IE}{{\hslash }^2}.$

Rozwiązanie

Aby rozwiązać równanie Schrödingera, można przedstawić funkcję $Y$ w postaci:

$Y(\theta ,\varphi )=\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi ).$

Poprzez podstawienie tego iloczynu do równania Schrödingera, pomnożeniu przez ${\sin }^2\theta /\mathrm{\Theta }\mathrm{\Phi }$ i po prostych przekształceniach, otrzymamy:

$\frac{\sin \theta }{\mathrm{\Theta }}\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial \mathrm{\Theta }}{\partial \theta })+\lambda {\sin }^2\theta =-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Theta }}{\partial {\phi }^2}.$

Lewa strona tego równania zależy wyłącznie od zmiennej kąta azymutalnego, natomiast prawa tylko od kąta biegunowego. Zatem obie strony muszą być równe pewnej stałej $M.$ Dzięki temu rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

${\mathrm{\Phi }}_M(\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}M\phi },M=0,\pm 1,\pm 2\dots$

Funkcja ${\mathrm{\Phi }}_M$ musi być funkcją jednoznaczną. Sens fizyczny rozwiązania tego równania przedstawia funkcja:

$\lambda =J(J+1),$

z której można otrzymać wyrażenie na energię:

$E_J=\frac{{\hslash }^2}{2I}J(J+1).$

Zatem energia zależy od kwantowej liczby rotacji $J.$ Dzięki temu można przedstawić rozwiązanie równania Schrödingera w ostatecznej postaci:

$Y_J^M(\theta ,\phi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{N}_{J,|M|}{P}_J^{|M|}(\cos \theta ){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}M\phi },$

gdzie:

$N_{J,|M|}={\left[\frac{2J+1}{2}\frac{(J+|M|!)}{(J-|M|!)}\right]}^{\frac{1}{2}}$ – czynnik normalizacji,

$P_l^m(x)=(1-x^2{)}^{m/2}\frac{{\mathrm{d}}^m}{\mathrm{d}{x}^m}{P}_l(x)$ – stowarzyszony wielomian Legendre’a.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę