Operacja Suslina

Operacja Suslina – operacja na rodzinie zbiorów indeksowanych elementami przestrzeni $\text{Seq},$ tzn. przestrzeni wszystkich skończonych ciągów liczb naturalnych, szeroko wykorzystywana w opisowej teorii mnogości i kombinatoryce nieskończonej. Operacja wprowadzona została przez rosyjskiego matematyka Pawła Aleksandrowa, jednak nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Michaiła Suslina, który również zajmował się tą tematyką.

Konstrukcja

Niech $\text{Seq}$ oznacza rodzinę wszystkich skończonych ciągów liczb naturalnych oraz niech $\{A_s:s\in \text{Seq}\}$ będzie dowolną rodzinę zbiorów indeksowaną elementami przestrzeni $\text{Seq}.$ Zbiór

$𝒜\{A_s:s\in \text{Seq}\}:=\bigcup _{a\in {\omega }^{\omega }}\bigcap _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_{a\upharpoonright n}$

nazywa się zbiorem wynikowym operacji Suslina na rodzinie $\{A_s:s\in \text{Seq}\}.$ W powyższym wzorze symbol ${\omega }^{\omega }$ oznacza przestrzeń Baire’a wszystkich nieskończonych ciągów liczb naturalnych. Dla $a=(a_0,a_1,a_2,\dots )\in {\omega }^{\omega }$ symbol $a\upharpoonright n$ oznacza ciąg $(a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}).$

Przykładowe zastosowanie

Używając pojęcia operacji Suslina, można udowodnić, że podzbiór przestrzeni polskiej jest zbiorem analitycznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem wynikowym operacji Suslina na pewnej rodzinie domkniętych podzbiorów przestrzeni.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę