Lemat Jordana

Szablon:Dopracować Lemat Jordana – twierdzenie analizy zespolonej często używane w połączeniu z twierdzeniem o residuach do obliczania całek krzywoliniowych oraz całek niewłaściwych. Twierdzenie nosi nazwisko francuskiego matematyka Camille’a Jordana.

Sformułowanie

Dana jest funkcja holomorficzna określona w górnej półpłaszczyźnie oraz ciągła (na półpłaszczyźnie włącznie z osią rzeczywistą) postaci

$f(z)=e^{iaz}g(z),a>0.$

Lemat Jordana mówi, że jeżeli zachodzi warunek

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{z\in C_R}{\max }|g(z)|=0,$

gdzie:

$C_R=\{z:z=R{e}^{i\theta },\theta \in [0,\pi ]\},R>0$

(droga po górnym półokręgu o środku w zerze i promieniu $R$), to

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{C_R}{\int }f(z)dz=0.$

Analogiczne twierdzenie zachodzi dla dolnej półpłaszczyzny gdy przyjmiemy $a<0.$