Kompleks łańcuchowy

Kompleks łańcuchowy – pojęcie występujące w matematyce w algebrze homologicznej i topologii algebraicznej.

Definicja

Kompleksem łańcuchowym $(A_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ nazywamy ciąg grup abelowych (lub ogólniej, modułów) $\dots ,A_2,A_1,A_0,A_{-1},A_{-2},\dots$ połączony morfizmami ${\partial }_n:A_n\to A_{n-1}$ zwanymi operatorami brzegu, spełniającymi dla każdego n tożsamość ${\partial }_{n-1}{\partial }_n=0$ (lub równoważnie $\mathrm{i}\mathrm{m}{\partial }_n\subset \ker {\partial }_{n-1}$).

Zapisuje się je zwykle jako:

$\dots \to A_{n+1}\stackrel{{\partial }_{n+1}}{\to }{A}_n\stackrel{{\partial }_n}{\to }{A}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\to }{A}_{n-2}\to \dots \stackrel{{\partial }_2}{\to }{A}_1\stackrel{{\partial }_1}{\to }{A}_0\stackrel{{\partial }_0}{\to }{A}_{-1}\stackrel{{\partial }_{-1}}{\to }{A}_{-2}\stackrel{{\partial }_{-2}}{\to }\dots$

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i ${\partial }_{n}x$ zapisuje się $\partial x.$

Przykłady

• Dla rodziny kompleksów łańcuchowych $\{K^{\lambda }{\}}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ ich sumą prostą $\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{K}^{\lambda }$ jest kompleks, w którym:

$(\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{K}^{\lambda }{)}_n=\underset{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{⨁}{K}_n^{\lambda },$

$\partial \{c^{\lambda }\}=\{\partial c^{\lambda }\}.$

Homologie

Kompleksy łańcuchowe służą zwykle zdefiniowaniu homologii. Dla kompleksu $(A_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ i każdego $n$ określamy grupy

$Z_n(A)=\ker {\partial }_n{B}_n(A)=\mathrm{i}\mathrm{m}{\partial }_{n+1},$

które nazywamy, odpowiednio, grupami n-wymiarowych cykli i brzegów kompleksu $(A_{\bullet },{\partial }_{\bullet }).$ Z definicji kompleksu mamy $B_n(A)\subset Z_n(A),$ dzięki czemu możemy określić n-tą grupę homologii kompleksu $(A_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ jako:

$H_n(A)=Z_n(A)/B_n(A).$

Elementy tej grupy nazywamy n-wymiarowymi klasami homologicznymi. Klasy homologiczne to klasy równoważności cykli, przy czym dwa cykle $z_n,z{\text{'}}_n\in Z_n(A)$ są równoważne (inaczej homologiczne), jeśli ich różnica jest brzegiem $z_n-z{\text{'}}_n\in B_n(A).$ Homologiczną klasę cyklu $z$ oznaczamy przez $[z].$

Przekształcenia łańcuchowe

Przekształceniem łańcuchowym $f_{\bullet }$ między kompleksami $(A_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ a $(B_{\bullet },\partial {\text{'}}_{\bullet })$ nazywamy ciąg morfizmów $f_n:A_n\to B_n$ komutujących z operatorami brzegu, tj. spełniających dla każdego $n$ zależność

$\partial {\text{'}}_n{f}_n=f_{n-1}{\partial }_n.$

Z tej własności wynika, że przekształcenia łańcuchowe przeprowadzają cykle na cykle i brzegi na brzegi, zatem indukują homomorfizmy na poziomie grup homologii: $H_{n}f:H_n(A)\to H_n(B).$

Złożenie dwóch przekształceń łańcuchowych $f_{\bullet }:A_{\bullet }\to B_{\bullet }$ i $g_{\bullet }:B_{\bullet }\to C_{\bullet }$ zdefiniowane jako $(gf{)}_n=g_n{f}_n$ jest również przekształceniem łańcuchowym $(gf{)}_{\bullet }:A_{\bullet }\to C_{\bullet }.$ Dlatego kompleksy i odwzorowania łańcuchowe tworzą kategorię oznaczaną $\partial 𝒜𝒢$.

Homologie definiują funktor

$H:\partial 𝒜𝒢\to 𝒜𝒢,$

bo $H_n(f{f}^{\prime })=H_n(f)H_n(f^{\prime })$ i $H_n(i{d}_K)=i{d}_{H_{n}K}.$

Gdy nie prowadzi to do nieporozumień, często opuszcza się indeksy i zamiast $f_{n}x$ zapisuje się $fx,$ a funktor $H_{n}f$ – jako $f_{*}$ (związki funktorialności zapisuje się wtedy w postaci $(f{f}^{\prime }{)}_{*}=f_{*}f{\text{'}}_{*}$ i $i{d}_{*}=id$).

Przykłady

• Stożkiem przekształcenia łańcuchowego $f_{\bullet }:K_{\bullet }\to L_{\bullet }$ nazywamy kompleks łańcuchowy $C{f}_{\bullet },$ w którym:

$(Cf{)}_n=L_n\oplus K_{n-1},$

${\partial }^{Cf}(y,x)=({\partial }^{L}y+fx,-{\partial }^{K}x),$ gdzie $(y,x)\in Cf.$

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu $K$ przez odcinek jednostkowy $K\times I,$ gdzie $I=⟨0;1⟩$ ściągamy do punktu podstawę iloczynu $K\times \{0\},$ a drugą podstawę $K\times \{1\}$ doklejamy do wielościanu $L$ za pomocą przekształcenia $f:K\to L,$ co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów $(X\times I)\bigsqcup Y$ przez relacje $(x,0)\sim (x^{\prime },0)$ i $(x,1)\sim f(x)$ dla dowolnych $x,x^{\prime }\in X.$

• Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego $i{d}_{\bullet }:K_{\bullet }\to K_{\bullet }$ nazywa się stożkiem nad kompleksem $K_{\bullet }$ i oznacza się go $C{K}_{\bullet }.$

Zawieszenie okręgu (niebieski). Ściagnięte do punktu podstawy iloczynu są zielone.

• Jeśli $L_{\bullet }=0,$ to kompleks $C{f}_{\bullet }$ jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez $K_{\bullet }^{+}.$ W kompleksie tym:

$(K^{+}{)}_n=K_{n-1},$

${\partial }^{K^{+}}=-{\partial }^K.$

Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu $K\times I$ poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw: $(x,0)\sim (x^{\prime },0)$ i $(x,1)\sim (x^{\prime },1)$ dla dowolnych $x,x^{\prime }\in X$.

Homotopie łańcuchowe

Mając dane dwa przekształcenia łańcuchowe $f=(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}},g=(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ między kompleksami $(A_{\bullet },{\partial }_{\bullet })$ a $(B_{\bullet },\partial {\text{'}}_{\bullet }),$ powiemy, że ciąg morfizmów $P_n:A_n\to B_{n+1}$ jest homotopią łańcuchową między $f$ i $g,$ jeżeli spełniona jest zależność

$\partial {\text{'}}_{n+1}{P}_n+P_{n-1}{\partial }_n=f_n-g_n.$

Homotopijne łańcuchowo przekształcenia łańcuchowe indukują ten sam morfizm na homologiach – istotnie, jeżeli $\alpha \in A_n$ jest cyklem, to mamy:

$f_n(\alpha )-g_n(\alpha )=\partial {\text{'}}_{n+1}{P}_n(\alpha )+P_{n-1}{\partial }_n(\alpha )=\partial {\text{'}}_{n+1}{P}_n(\alpha ),$

gdyż $P_{n-1}{\partial }_n(\alpha )=P_{n-1}(0)=0,$ bo $\alpha$ jest cyklem. Stąd $f_n(\alpha )-g_n(\alpha )$ jest brzegiem, zatem po przejściu do grup homologii ta różnica jest zerem.

Ciągi dokładne kompleksów łańcuchowych

Krótkim ciągiem dokładnym kompleksów łańcuchowych $A_{\bullet },B_{\bullet },C_{\bullet }$ nazwiemy przekształcenia łańcuchowe $f_{\bullet }=(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}},g_{\bullet }=(g_n{)}_{n\in \mathbb{N}},$ takie, że dla każdego $n,$ następujący ciąg jest dokładny:

$0\to A_n\stackrel{f_n}{\to }{B}_n\stackrel{g_n}{\to }{C}_n\to 0.$

Znanym faktem z algebry homologicznej jest to, że każdy krótki ciąg dokładny kompleksów łańcuchowych można „wyprostować” do długiego ciągu dokładnego grup homologii:

$\dots \to H_{n+1}(C)\stackrel{\partial {\text{'}}_{n+1}}{\to }{H}_n(A)\stackrel{f_n}{\to }{H}_n(B)\stackrel{g_n}{\to }{H}_n(C)\stackrel{\partial {\text{'}}_n}{\to }{H}_{n-1}(A)\to \dots ,$

gdzie $\partial {\text{'}}_{\bullet }$ są naturalne. Istnienie przekształceń $\partial {\text{'}}_{\bullet }$ można wykazać, stosując np. lemat o wężu do odpowiedniego diagramu. Zobacz też: Ciąg Mayera-Vietorisa.

Przykłady kompleksów łańcuchowych

W topologii algebraicznej występuje szereg kompleksów łańcuchowych.

Singularny kompleks łańcuchowy

Mając dowolną przestrzeń topologiczną $X$ możemy zbudować kompleks łańcuchowych w następujący sposób:

Niech $C_n(X)$ będzie wolną grupą abelową, której zbiorem generatorów jest zbiór wszystkich ciągłych przekształceń $\sigma :{\mathrm{\Delta }}^n\to X$ z n-sympleksu w $X.$ Określmy operator brzegu przez

${\partial }_n(\sigma )=\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\sigma |[v_0,v_1,\dots ,\widehat{v_i},\dots ,v_n],$

gdzie $[v_0,v_1,\dots ,v_n]$ oznacza sympleks rozpięty na wierzchołkach $v_0,v_1,\dots ,v_n,$ a $\widehat{v_i}$ oznacza, że ten wierzchołek opuszczamy.

Proste przekształcenia pozwalają stwierdzić, że istotnie ${\partial }_{n-1}{\partial }_n=0,$ co dowodzi, że $(C(X),\partial )$ jest kompleksem łańcuchowym. Pozwala nam rozpatrywać homologie $H_n(X)$ tego kompleksu, zwane grupami homologii singularnych przestrzeni $X.$

Kompleksy kołańcuchowe

Jak wiele innych konstrukcji w algebrze, tak również kompleksy łańcuchowe poddają się procesowi dualizacji. Mówimy wtedy o kompleksach kołańcuchowych. Formalna definicja jest niemal identyczna jak w przypadku kompleksów łańcuchowych, z tą tylko różnicą, że operatory brzegu ${\partial }_n:A_n\to A_{n+1}$ podnoszą, zamiast obniżać, stopień. Również w tym wypadku, dwukrotne zastosowanie operatora brzegu ma dawać zero. Kompleks kołańcuchowy wygląda następująco:

$\dots \to A_{n+1}\stackrel{{\partial }_n}{\leftarrow }{A}_n\stackrel{{\partial }_{n-1}}{\leftarrow }{A}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-2}}{\leftarrow }{A}_{n-2}\to \dots \stackrel{{\partial }_1}{\leftarrow }{A}_1\stackrel{{\partial }_0}{\leftarrow }{A}_0\stackrel{{\partial }_{-1}}{\leftarrow }{A}_{-1}\stackrel{{\partial }_{-2}}{\leftarrow }{A}_{-2}\stackrel{{\partial }_{-3}}{\leftarrow }\dots$

Podobnie definiujemy wówczas grupy kohomologii, przekształcenia kołańcuchowe itd.

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę
• Szablon:Cytuj książkę