Kompleks symplicjalny

Kompleks symplicjalny wymiaru 3

Zbiór sympleksów $𝒦$ w ${ℝ}^n$ nazywamy kompleksem symplicjalnym (geometrycznym w odróżnieniu od abstrakcyjnego kompleksu symplicjalnego), jeśli spełnione są następujące warunki:

1. Dowolna ściana sympleksu należącego do $𝒦$ jest również elementem $𝒦.$

2. Przekrój dowolnych dwóch sympleksów ${\sigma }_1,{\sigma }_2\in 𝒦$ jest zbiorem pustym lub ich wspólną ścianą.

Wymiar kompleksu symplicjalnego

Jeżeli kompleks $𝒦$ zawiera sympleks wymiaru $n,$ lecz nie zawiera sympleksu wymiaru większego, to liczbę $n$ nazywamy wymiarem kompleksu $𝒦$ co oznaczamy $\dim 𝒦=n.$ Natomiast gdy dla każdego $n\in \mathbb{N}$ kompleks $𝒦$ zawiera sympleks wymiaru większego niż $n,$ to mówimy, że ma wymiar nieskończony co oznaczamy $\dim 𝒦=+\mathrm{\infty }.$

Izomorfizm kompleksów symplicjalnych

Kompleksy symplicjalne $𝒦,ℒ$ nazywamy izomorficznymi jeżeli istnieje odwzorowanie symplicjalne $f:𝒦\to ℒ$ będące izomorifzmem.

Realizacja geometryczna kompleksu symplicjalnego

Każdy kompleks symplicjalny składa się ze zbioru sympleksów i wszystkie są podzbiorami pewnego ustalonego ${ℝ}^n.$ Podzbiór ${ℝ}^n$ złożony z punktów sympleksów $𝒦$ nazywamy jego nośnikiem i oznaczamy $|𝒦|.$ Zbiór $|𝒦|$ w sposób naturalny dziedziczy topologię z ${ℝ}^n.$ Jednak prowadzi to do sytuacji, w której dla izomorficznych kompleksów ich nośniki z tymi topologiami mogą nie być homeomorficzne jako przestrzenie topologiczne. Jest to zależne od tego, w jaki sposób zbiory te są położone w ${ℝ}^n.$ Z tego względu zbiór $|𝒦|$ wyposaża się w topologię (zwaną słabą), w której bazę stanowią zbiory $U\subseteq |𝒦|,$ których przekrój z każdym sympleksem $\sigma \in 𝒦$ jest zbiorem otwartym w tym sympleksie. Zbiór $|𝒦|$ wraz z topologią słabą nazywamy realizacją geometryczną kompleksu $𝒦$.

Linki zewnętrzne

• Szablon:MathWorld
• Szablon:Otwarty dostęp Simplicial complex Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].
• Szablon:Otwarty dostęp Simplicial Complexes – Your Brain as Math Part 2, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 24 sierpnia 2017 [dostęp 2024-08-29].